упрощение выражений »
преобразовать выражение к виду
Самостоятельная работа. Преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
1.) Напишите в виде произведения:
а) 1+2cosα
б) sin10+cos20
2.) Докажите тождество:
\( \frac{2cos^{2} \alpha -1 }{sin2 \alpha } + \frac{sin3 \alpha -sin \alpha }{cos3 \alpha +cos \alpha } = \frac{1}{sin2 \alpha } \)
3.) Напишите в виде произведения:
cosα-cosβ+sin(α+β)
4.) Упростите выражение:
\( \frac{1+tg \alpha }{1-tg \alpha } \)
Решение: 1. а) 1+2сos(α)=2cos^2(α)
б) sin(10)+cos(20)=sin(10)+cos^2(10)-sin^2(10)=sin(10)+1-2sin^2(10)=-(2sin^2(10)-sin(10)-1)=-(sin(10)+0,5)(sin(10)-1)=(sin(10)+0,5)(1-sin(10)).
2. Рассмотрим левую часть:
(2сos^2α-1)/(sin2α) + (sin3α-sinα)/(cos3α+cosα)=(1+сos2α-1)/(sin2α) + (3sinα-4sin^3α-sinα)/(4cos^3α-3cosα+cosα)=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) - (4sin^3α-2sinα)/(4cos^3α-2cosα)=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) - (sinα(2sin^2-1))/(cosα(2cos^2-1))=(cos^2α-sin^2α)/(2sinαcosα) + sinα/cosα=(cos^2α-sin^2α+2sin^2α)/(sin2α)=(cos^2α+1-cos^2α)/(sin2α)=1/(sin2α). ЧТД
Преобразовать в многочлен 2*(a-3)^2-2a^2
Разложите на множители
1) x^4-16x^2
2) -4x^2-8xy-4y^2
Упростите выражение и найдите его значение при x=-2
(x+5)*(x^2-5x+25)-x*(x^2+3)
Представьте в виде произведения:
1) (a-5)^2-16b^2
2) x^2-y^2-5x-5y
3) 27-x^9
Решение:2*(a-3)²-2a²=2(а²-6а+9)-2а²=2а²-12а+18-2а²=-12а+18
Разложите на множители
1) x^4-16x²=х²(х²-16)=х²(х-4)(х+4)
2) -4x²-8xy-4y²=-4(х²+2ху+у²)=-4(х+у)²
Упростите выражение и найдите его значение при x=-2
(x+5)*(x²-5x+25)-x*(x²+3)=х³+125-х³-3х=125-3·(-2)=125+6=131
Представьте в виде произведения:
1) (a-5)²-16b²=(а-5-4b)(a-5+4b)
2) x²-y²-5x-5y=(x-y)(x+y)-5(x+y)=(x+y)(x-y-5)
3) 27-x^9=3³-(x³)³=(3-x³)(9+3x³+x^60
1. Записать в стандартном виде многочлен : 5х·3у²-2х²у-4ху·7у+0,5ух·5х
2. Преобразовать в многочлен стандартного вида : (у³+у²-у)-(у²+у-1)
3. Вычислить значение выражения : 3х²-(7ху-4х²)+(5ху-7х²), при х=0,3 ; у= -10
4. Упростить выражение : (4а²)²-2а³(1+8а)
5. Упростить выражение : (а+b)(а+2)-(а-b)(а-2)-2аb
6. Раскрыть скобки используя соответствующее правило : а) 3а²+(а-5) ; б) 5-(4а+5)
7. Упростить выражение : а) х-(3х+5)+(2х-4) ; б) (3а²-4b+5)+(2b-а²-1)
8. Решить уравнение : (3х-5)+(2х-7)=-2
9. Выполнить умножение: а) -4у(2х-5у+1); б) 8а²(а-3а³)
10. Упростить выражение : а) 5(х-8)-2(5+х) ; б) х(х²+х-2)-х²(х-1)
11. Упростить выраж. : у²(у³+у-2)-у(у³+1)+2у²-у³
Решение: 1. Записать в стандартном виде многочлен : 5х·3у²-2х²у-4ху·7у+0,5ух·5х=15ху²-2х²у-28ху²+2,5х²у=-13ху²+0,5х²у
2. Преобразовать в многочлен стандартного вида : (у³+у²-у)-(у²+у-1)=у³+у²-у-у²-у+1=у³-2у+1
3. Вычислить значение выражения : 3х²-(7ху-4х²)+(5ху-7х²), при х=0,3 ; у= -10
3х²-(7ху-4х²)+(5ху-7х²)=3х²-7ху+4х²+5ху-7х²=-2ху -2*0,3*(-10)=6
4. Упростить выражение : (4а²)²-2а³(1+8а)=16а^4-2а³-16a^4=-2а³
5. Упростить выражение : (а+b)(а+2)-(а-b)(а-2)-2аb=а²+2a+ab+2b-а²+2a+ab-2b-2аb=4a
6. Раскрыть скобки используя соответствующее правило : а) 3а²+(а-5)=3а²+а-5 ; б) 5-(4а+5)=5-4а-5=-4a
7. Упростить выражение : а) х-(3х+5)+(2х-4)=х-3х-5+2х-4=-9 ; б) (3а²-4b+5)+(2b-а²-1)=3а²-4b+5+2b-а²-1=2а²-2b+4
8. Решить уравнение : 3х-5+2х-7=-2
5х-12=-2
5x=10
x=2
9. Выполнить умножение: а) -4у(2х-5у+1)=-8xy+20y²-4y; б) 8а²(а-3а³)=8a³-24a^5
10. Упростить выражение : а) 5(х-8)-2(5+х)=5x-40-10-2x=3x-50 ; б) х(х²+х-2)-х²(х-1)=x³+x-2x-x³+x²=2x²-2x
11. Упростить выраж. : у²(у³+у-2)-у(у³+1)+2у²-у³ =y^5+y³-2y²-y^4-y+2y²-y³=y^5-y^4-y
^ - знак степени
1. Преобразовать подкоренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить
5/(1+∛(32cos²15*cos²15-10-8√3)
2. Выразить tg²α*tg²α+ctg²α*ctg²α через m, где m=tgα+ctgα
Решение: $$ 1)\; \; \frac{5}{1+\sqrt[3]{32\cdot (cos^215)^2-10-8\sqrt3}}=[\, cos^2 \alpha =\frac{1+cos2 \alpha }{2}\, ]=\\\\=\frac{5}{1+ \sqrt[3]{32\cdot (\frac{1+cos30}{2})^2-10-8\sqrt3} }=\frac{5}{1+\sqrt[3]{\frac{32}{4}\cdot (1+\frac{\sqrt3}{2})^2-10-8\sqrt3}}=\\\\=\frac{5}{1+\sqrt[3]{8\cdot (1+\sqrt3+\frac{3}{4})-10-8\sqrt3}}=\frac{5}{1+\sqrt[3]{8+8\sqrt3+6-10-8\sqrt3}}=\frac{5}{1+\sqrt[3]{4}} \\ 2)\; \; \; tg^2 \alpha +ctg^4 \alpha =?\\\\tg \alpha +ctg \alpha =m\; \; \to \\\\(tg \alpha +ctg \alpha )^2=tg^2 \alpha +2\cdot tg \alpha \cdot ctg \alpha +ctg^2 \alpha =tg^2 \alpha +ctg^2 \alpha +2\cdot 1\\\\m^2=tg^2 \alpha +ctg^2 \alpha +2\; \; \to \; \; tg^2 \alpha +ctg^2 \alpha =m^2-2\\\\(tg^2 \alpha +ctg^2 \alpha )^2=tg^4 \alpha +2\cdot tg^2 \alpha \cdot ctg^2 \alpha +ctg^4 \alpha =tg^4 \alpha +ctg^4 \alpha +2\to \\\\(m^2-2)^2=tg^4 \alpha +ctg^4 \alpha +2\; \; \to \\ tg^4 \alpha +ctg^4 \alpha =(m^2-2)^2-2 \\ tg^4 \alpha +ctg^4 \alpha =m^4-4m^2+4-2=m^4-4m^2+2 $$1) преобразовать в многочлен стандартного вида:
(3х+у)^2+(х-у)(у+х)
2) упростить выражение
6) задача
разность 2 чисел равна 12. Найдите эти числа, если 2/5 первого числа составляют 4/7 другого?
Решение: 1)
$$ (3x+y)^2+(x-y)(y+x)=(3x+y)(3x+y)+(x-y)(y+x)= \\ =9x^2+3xy+3xy+y^2+xy+x^2-y^2-xy=9x^2+6xy+x^2 $$
2)
$$ \frac{x}{x-y} :( \frac{x+y}{y} + \frac{y}{x-y} ) \\ \\ \\ 1)\frac{x+y}{y} + \frac{y}{x-y}= \frac{(x+y)(x-y)+y^2}{y(x-y)} = \\ \\ =\frac{x^2-xy+xy-y^2+y^2}{y(x-y)} =\frac{x^2}{y(x-y)} \\ \\ 2)\frac{x}{x-y} :\frac{x^2}{y(x-y)} =\frac{x}{x-y} *\frac{y(x-y)}{x^2} = \frac{y}{x} $$
6)
$$ \left \{{x-y=12} \atop {\frac{2x}{5}=\frac{4y}{7}} \right. \\ \left \{{x-y=12} \atop {7*2x=5*4y}\right. \\ \left \{{x-y=12} \atop {14x=20y} \right. \\ \left \{{x-y=12} \atop {x=\frac{20y}{14}=\frac{10y}{7}} \right. \\ \frac{10y}{7}-y=12 \\ \frac{10y-7y}{7}=12 \\ 3y=12*7 \\ y= \frac{12*7}{3}=4*7=28 \\ x-28=12 \\ x=12+28 \\ x=40 $$
Выражение 1-tg^2 a / 1+tg^2 a можно преобразовать к виду.
Решение: $$ \frac{1-tg^2 \, \alpha }{1+tg^2 \, \alpha }=\frac{1 - \frac{\sin^2{ \alpha }}{\cos^2{ \alpha }} }{\frac{1}{\cos^2{ \alpha }}}=\cos^2{ \alpha } \cdot (1 - \frac{\sin^2{ \alpha }}{\cos^2{ \alpha }})= \\\\ =\cos^2{ \alpha } - \sin^2{ \alpha }=\cos{2 \alpha } $$$$ \frac{1-tg^{2}a}{1+tg^{2}a} =(1- \frac{sin^{2}a}{cos^{2}a} ):(1+ \frac{sin^{2}a}{cos^{2}a} )=\frac{cos^{2}a-sin^{2}a}{cos^{2}a} :\frac{sin^{2}a+cos^{2}a}{cos^{2}a} = \\ \frac{cos^{2}a-sin^{2}a}{cos^{2}a} * \frac{cos^{2}a}{sin^{2}a+cos^{2}a} =\frac{cos^{2}a-sin^{2}a}{1} * \frac{1}{1} =cos2a \\ $$
