неравенство с модулем

Неравенство с модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$

Решение: Упростим наше неравенство, удобно сделать замену
$$ x+3=t $$ , получаем
$$ 3|t|+|t-13|-35>0 $$ , его легче решить
$$ t \geq 0 \\ t \geq 13 $$
Решаем на интервале $$ (-oo;0) $$
$$ -3t+13-t-35[tex]x+3<-5.5 \\ x<-8.5 \\ x+3>11 \\ x>8 \\ (-\infty;-8.5) \cup (8;+\infty) $$>0 \\ -4t-22>0 \\ -4t>22 \\ t<-5.5 \\ t\in(-\infty;-5.5) $$
Решение на этом интервале
$$ \left \{ {{t<0} \atop {t<-5.5}} \\ \right. = > \\ t \in (-\infty;-5.5) $$
На интервале $$ (0;13) $$
$$ 3t+13-t-35>0 \\ 2t-22>0 \\ t>11 \\ t \in (11;13) \\ $$
На интервале $$ [13;\infty) $$
$$ [13;+\infty) $$
Но второе и третье неравенства мы можем объединить как
$$ (11;+\infty) $$
и того $$ (-\infty;-5.5) \cup (11;+\infty) $$
замена $$ x+3 < -5.5 \\ x+3>11 \\ (-\infty;-5.5) \cup (8;+\infty) $$
Неравенство с модулем2|x|<4+|x+1|

Решение: Значения х обращающие модули в 0 х=0 и х=-1
рассмотрим следующие интервалы
1) при х<-1
/x/=-x, /x+1/=-x-1
-2x<4-x-1
2x-x>-4+1
x>-3
⇒x∈(-3,-1) (1)
2) при -1 ≤х≤ 0
/x/=-x, /x-1/=x+1
-2x<4+x+1
2x+x>-4-1
x>-5
⇒x∈[-1,0] (2)
3) при х>0
/x/=x, /x+1/=x+1
2x<4+x+1
2x-x<5
x<5
⇒x∈(0,5) (3)
из (1), (2), (3) ⇒ x∈(-3,5)
Неравенство с модулем: $$ |\frac{2x - 1}{x - 2}| > 2 $$

Решение: |(2x-1)/(x-2)|>2
Раскрываем модуль по определению
При (2x-1)/(x-2) >=0 |(2x-1)/(x-2)| = (2x-1)/(x-2)
По методу интервалов найдем решение неравенства (2x-1)/(x-2) >=0
2x-1 =0 x-2 =/=0
x =0,5 x =/=2
На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства
+ 0 - 0 +
---------!---------!--------
0,5 2
Поэтому неравенство (2x-1)/(x-2) >=0 истинно для всех значений
х принадлежащих (-бескон;0,5]U(2;+бесконечн)
Раскрываем модуль при условии, что (2x-1)/(x-2) >=0
(2x-1)/(x-2) > 2
(2x-1)/(x-2) -2(x-2)/(x-2) >0
(2x-1-2x+4)/(x-2) >0
3/(x-2) >0
x-2 >0
x > 2
Поэтому неравенство истинно для всех значений
х принадлежащих (2;+бесконеч)
Решение лежит в предварительно выбранной области.

При (2x-1)/(x-2) < 0 |(2x-1)/(x-2)| = - (2x-1)/(x-2)
Неравенство (2x-1)/(x-2) < 0 истинно
при всех значениях х принадлежащих [0,5;2)
Раскрываем модуль при условии, что (2x-1)/(x-2) < 0
-(2x-1)/(x-2) > 2
(1-2x)/(x-2) - 2(x-2)/(x-2) >0
(1-2x - 2x +4)/(x-2) >0
(5-4x)/(x-2) >0
По методу интервалов найдем решение неравенства (5-4x)/(x-2) >=0
5x-4 =0 x-2 =/=0
x =1,25 x =/=2
На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства
- 0 + 0 -
---------!---------!--------
1,25 2
Поэтому неравенство -(2x-1)/(x-2) < 2 истинно для всех значений
х принадлежащих (1,25;2)
Решение лежит в предварительно выбранной области.
Окончательно объединим две области решений получим, что
неравенство |(2x-1)/(x-2)|>2
истинно для всех значений х принадлежащих (1,25;2)U(2;+бесконеч)
Ответ:(1,25;2)U(2;+бесконеч)
Решить неравенство с модулем: lx-3l>lx^2-3l

Решение: найдем критические точки

x=3

$$ x=\sqrt{3} $$

$$ x=-\sqrt{3} $$

1) $$ x < -\sqrt{3} $$

3-x>x^2-3 x^2+x-6<0   (x+3)(x-2)<0   ]-3;2[

$$ ]-3;-\sqrt{3}] $$

2)$$ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $$

3-x>3-x^2 x^2-x>0   x(x-1)>0   ]-~;0[U]1;~[

$$ ]-\sqrt{3};0[U]1;\sqrt{3}] $$

3)$$ \sqrt{3} < x < 3 $$

3-x>x^2-3

]-3;2[

$$ [\sqrt{3};2[ $$

4) x>3

x-3>x^2-3 x^2-x<0 x(x-1)<0 ]0;1[

]-3;0[U]1;2[
Решить неравенство с модулем: |-x^2-x|>=4x-2 (нужно полное решение)

Решение:
$$ \left \{ {{-x^{2}-x >=4x-2}\atop{ -x^{2}- x<=-4x+2}} \right. \\ \left \{ {{- x^{2} -5x+2>=0} \atop { -x^{2}+3 x-2<=0}} \right. $$
1)-x^{2}-5x+2>=0
D=25-4*(-1)*2=33
$$x_1= \frac{5+ \sqrt{33} }{-2} \\ x_1= \frac{5- \sqrt{33} }{-2} \\ x[\frac{5+ \sqrt{33} }{-2} \\ \frac{5- \sqrt{33} }{-2} ]$$
2)-x^{2}+3 x-2<=0
D=9-4*(-1)*(-2)=1
x1=2
x2=-1
x(-∞;-1][2;∞)
Ответ:$$ x[ \frac{5+ \sqrt{33} }{-2} ;-1] $$
Решите неравенство с модулем: |x^2+7x|<=4x+10 нужно полное решение

Решение: Так как модуль, то получаем систему неравенств:
х^2+7x<=4x+10
-(x^2+7x)<=4x+10
Решая оба квадратных уравнения получаем следующий вид систему неравенств:
(х+5)(х-2)<=0
(x+10)(x+1)<=0
Из первого неравенства получаем ответ [-5;2]
Из второго неравенства получаем ответ [-10;-1]
При совмещении двух промежутков получаем конечный ответ: [-5;1]
Решите неравенство с модулем: ||361-х²| - |х²+35х+304|| - 19 * |х+19| ≥ 0

Решение: Общая схема решения неравенств с модулем:
1. найти корни выражений под модулем
в нашем случае три корня, следовательно нужно рассмотреть четыре промежутка
2. на каждом промежутке по определению раскрыть модули и
найти пересечение решений получившегося неравенства и данного промежутка
ответом будет объединение решений на всех промежутках.
Решите неравенство с модулем. |2x-5|/x^2-16>=0

Решение: |2x-5|/[(x-4)(x+4)]≥0
1)x<2,5
(5-2x)/[(x-4)(x+4)≥0
x=2,5 x=4 x=-4
+ _ + _
-------------(-4)-------------[2,5]----------(4)---------------------
x<-4 U 2,5≤x<4
x∈(-∞;-4)
2)x≥2,5
(2x-5)/[(x-4)(x+4)≥0
_ + _ +
-------------(-4)-------------[2,5]----------(4)---------------------
-44
x=2,5 U x∈(4;∞)
Ответ x∈(-∞;-4) U (4;∞) U {2,5}
Решить неравенство с модулем. 3|x-1|+x^2-7>0
2|x|<=4+|x+1|

Решение: Что делает модуль? например |x|. если x≥0, то |x|=x, а если x<0, то |x|=-x.
так и решаем.
3|x-1|+x²-7>0
1. x-1<0 или x<1
-3(x-1)+x²-7>0
-3x+3+x²-7>0
x²-3x-4>0
D=3²+4*4=9+16=25
√D=5
x₁=(3-5)/2=1
x₂=(3+5)/2=4
x²-3x-4=(x-1)(x-4)>0
+ - +
-------------------------------------------------
-∞ 1 4 +∞
x∈(-∞;1)∪(4;+∞)
и x<1
получаем x∈(-∞;1)
2. x-1≥0 или x≥1
3(x-1)+x²-7>0
3х-3+x²-7>0
x²+3х-10>0
D=3²+4*10=49
√D=7
x₁=(-3-10)/2=-6,5
x₂=(-3+10)=3,5
3²+4*10=(x+6,5)(x-3,5)>0

+ - +
-------------------------------------------------
-∞ -6,5 3,5 +∞

x∈(-∞;-6,5)∪(3,5;+∞)
и x≥1
x∈(3,5;+∞)

Ответ: x∈(-∞;1)∪(3,5;+∞)

2|x|<=4+|x+1|
тут придется разбивать уже на 3 интервала
x<0 и x+1<0 (x<-1)

1. x<-1 тогда |x|=-x и |x+1|=-(x+1)
-2x≤4-(x+1)
-2x≤4-x-1
-x≤3
x≥-3
x∈[-3;-1)

2. -1≤x<0 тогда |x|=-x и |x+1|=x+1
-2x≤4+x+1
-3x≤5
x≥-5/3=-1 2/3
x∈[-1;0)

3. x≥0 тогда |x|=x и |x+1|=x+1
2x≤4+x+1
x≤5
x∈[0;5]

мы получили x∈[-3;-1)∪ [-1;0)∪x∈[0;5] или x∈[-3;5]

Ответ: x∈[-3;5
Решить неравенство с модулем: 2*|x+1|>x+4
2*|x|<=4+|x+1|

Решение: 2*|x+1| > x+4 .⇔[ 2(x+1) < -(x+4) ;  2(x+1) > (x+4).⇔[ x<-2 ; x >2.

ответ : x∈(-∞ ;-2) U (2 ;∞) .
-------
2|x| ≤ 4+|x+1| ;
|x+1| -2|x| +4 ≥0 .
---
а)
{ x∈(-∞ ; -1) ; -(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈(-∞ ; -1) ; x ≥ -3 .
x∈[ -3;-1) .
---
б)
  { x∈[-1;0) ;(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[-1;0) ; x ≥ -5/3 .
x∈[-1;0) .
---
в)
{ x∈[0 ;∞) ;(x+1) -2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[0 ;∞) ; x ≤ 5 .
x∈[0; 5] .

x∈ [ -3;-1) ∪ [-1; 0)  ∪[ 0 ;5] ⇔x∈ [ -3; 5] .

ответ : x∈ [ -3; 5] .

1 2 > >>

неравенство с модулем

Неравенство с модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$

Неравенство с модулем2|x|<4+|x+1|

Неравенство с модулем: $$ |\frac{2x - 1}{x - 2}| > 2 $$

Решить неравенство с модулем: lx-3l>lx^2-3l

Решить неравенство с модулем: |-x^2-x|>=4x-2 (нужно полное решение)

Решите неравенство с модулем: |x^2+7x|<=4x+10 нужно полное решение

Решите неравенство с модулем: ||361-х²| - |х²+35х+304|| - 19 * |х+19| ≥ 0

Решите неравенство с модулем. |2x-5|/x^2-16>=0

Решить неравенство с модулем. 3|x-1|+x^2-7>0 2|x|<=4+|x+1|

Решить неравенство с модулем: 2*|x+1|>x+4 2*|x|<=4+|x+1|

Решить неравенство с модулем. 3|x-1|+x^2-7>0
2|x|<=4+|x+1|

Решить неравенство с модулем: 2|x+1|>x+4
2|x|<=4+|x+1|