степени » предел в степени
  • Для каждого значения параметра a определите количество корней уравнения ax^2+(a+1)^2*x+a+2=0; *вторая степень 2


    Решение: 1)При а=0 уравнение линейное и имеет вид:
    х+2=0
    х=-2 один корень
    2) При а≠0
    Найдем дискриминант квадратного уравнения
    D=((a+1)²)²-4a(a+2)=(a²+2a+1)²-4(a²+2a)=(a²+2a)²+2(a²+2a)+1-4(a²+2a)=
    =(a²+2a)²-2(a²+2a)²+1=(a²+2a-1)²

    При D=0 уравнение имеет один корень
    a²+2a-1=0
    a₁=(-2-√8)/2=-1-√2  или 
    a₂=(-2+√8)/2=-1+√2

    При D>0, т. е. при  a₁≠ -1-√2  или  a₂≠ -1+√2   уравнение имеет два корня
    Ответ.  при а=0; a=-1-√2 ; a=-1+√2  уравнение имеет один корень
       при а∈(-∞;-1-√2 )U(-1-√2;0)U(0;-1+√2)U(-1+√2;+∞)  уравнение имеет два корня.



  • Чему равен предел (lim) числа 3 в степени 1-n и почему?


    Решение: Lim3^(1-n)
    Распишем 3^(1-n) =3^1 / 3^n
    Так как, n стремится к бесконечности то получаем, что 3^n бесконечно большое чисто,
    а число 3 делим на бесконечно большое число, значит получаем 0.
    и так Lim0=0 
    ^-степень
    и под lim не забывайте подписывать, что n стремится к бесконечности. 

  • Найти предел, не используя правило Лопиталя: предел дроби (х+3)/(х+4) в степени (-2х), где х стремится к бесконечности
    \( \lim_{x \to \infty} ((x+3)/(x+4))^{-2x} \)


    Решение: $$ \lim_{x \to \infty}( \frac{x+3}{x+4} )^{-2x}= \lim_{x \to \infty}( \frac{x+4-1}{x+4} )^{-2x}= \\ = \lim_{x \to \infty}( 1-\frac{1}{x+4} )^{-2x}=\lim_{x \to \infty}( 1+\frac{1}{-(x+4)} )^{-(x+4) \frac{2x}{x+4} }= \\ =e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x+4} }=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2x/x}{x/x+4/x} }=e^2 $$
  • Найти предел lim (n стремится к бесконечности)дробь,в числителе (n+2)во 2 степени, - (n-2) во 2 степени; в знаменателе (n+3) в 2 степени


    Решение:

    Надо упростить дробь
    В числителе (n+2)²-(n-2)²=(n+2 - (n-2) ) ·  (n+2 +n-2)=4·2n
    Знаменатель можно оставить прежним.
    Разделим дробь на n²

    В числителе останется 8/n  - это бесконечно малая величина при n стремящемся к бесконечности. Поэтому в пределе она равна 0
    в Знамнателе (n+3)/n    = 1+3/n
      стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности
    ответ 0

  • Найти предел. Как быть с третьей степенью в знаменателе? \( lim_{x->-1}\frac{x^2-x-2}{x^3+1} \)


    Решение: Подставив -1 получим неопределенность вида 0/0. Используем правило Лопиталя для вычисления этой границы

    Подставив - получим неопределенность вида . Используем правило Лопиталя для вычисления этой границы...
  • Найти указанные пределы: 1) lim("х" стремящийся к бесконечности)дробь,в числителе 6х в 4 степени, + 5х во 2 степени, +4; в знаменателе "х" в 4 степени + 3х во 2 степени + х; 2)lim("х" стремящийся к 4)дробь,в числителе 2х во 2 степени - 7х - 4; в знаменателе 2х во 2 степени - 13х +20; 3)lim("х" стремящийся к 0)дробь,в числителе tgx - sinx; в знаменателе "х" в 3 степени; 4)lim("х" стремящийся к +,-бесконечности) дробь,в числителе 3 + 2х; в знаменателе 4х + 3,и вся дробь в степени "х"; 5)lim("х" стремящийся к 0)дробь,в числителе х - 1; в знаменателе х + 1; вся дробь в степени "х";


    Решение: 1. Подставляем бесконечность вместо х, в основании получаем неопределенность вида (бескон./бескон.)
    2. Числитель и знаменатель основания степени делим на х. Получаем:
    5/(4+3/х). В этой величине 3/х стремится к нулю, так как х - бесконечно большая.
    3. Итого получается (5/4) в степени -1/6. Дальше можно преобразовывать...
    Варианты:

    (5/4)^(-1/6)
    (4/5)^(1/6)
    корень 6 степени из 4/5

    3.lim (x->0) (tgx-sinx)/x^3 = [0/0] => применяем правило Лопиталя, т.е. по отдельности дифференцируем числитель и знаменатель, получаем: 
    lim (x->0) (tgx-sinx)/x^3 = lim (x->0) (1/cos^2x - cosx)/(3x^2) = [0/0] = lim (x->0) (2sinx/cos^3x +sinx)/6x = [0/0] = lim (x->0) ( (2cos^4x+2*3cos^2x*sin^2x)/cos^6x + cosx) / 6 = 1/2