степени » функция y степени x
  • Нужно перечислить все основные свойства функций: y=(x-2) в 4 степени, y=0.5sinx+2 y=0.5cosx+2 y=-(x+2)в 4степени.


    Решение: а) y=(x-2) в 4 степени

    1)Четная

    2)Определена на всей области определения

    3)Вершина в точке (2;0) 
    4)Ветви направлены вверх. 
    5)До x<2 убывает. 
    6)При x>4 возрастает.

    б)0.5sinx+2

    1) Определена на всей области определения

    2) Нечетная

    3) Периодическая

    4) Возрастает и убывает

    5) Знакопостоянна на промежутках

    6) Непрерывна

    7) График называеться синусойдой

    в)y=0.5cosx+2

    1)Определена на всей области определения

    2)Четная

    3)Периодическая

    4)Область значений  отрезок [ 1,5; 2,5]; 
    5)Убывает на промежутках [KeZ; п+2пk] и возрастает на промежутках [п+2пk;KeZ] 

    Г)y=-(x+2)в 4 степени.

    1)Определена на всей области определения

    2) Вершина в точке (-2;0)

    3)Возростает (-бесконечности;-2);

    4)Убывает (-2;+бесконечности);

    5)Ветви направлены в низ

    6) Область значений (0;-бесконечности)

    7) Ость оссимптот: x=-2

    8)Наибольшее значение при y=0; x=-2

    9) Наименьшего значения не существует

  • Исследуйте на максимум и минимум функцию: А) Х В ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ - 8Х ВО ВТОРОЙ СТЕПЕНИ


    Решение: $$ y=x^4-8x^2 $$
    Найдем производную:
    $$ y’=(x^4-8x^2)’=(x^4)’-(8x^2)’=4x^3-16x $$
    Найдем критические точки:
    $$ 4x^3-16x=0 $$
    $$ 4x(x-2)(x+2)=0 $$
    Разделим обе части на 4:
    $$ x(x-2)(x+2)=0 $$
    Есть 3 решения:
    $$ x_1=0 $$ $$ x=2 $$ $$ x=-2 $$
    Найдем их значения на функции:
    $$ y(0)=0 $$
    $$ y(-2)=24 $$
    $$ y(2)=-24 $$
    Ответ: $$ y_{max}=y(-2)=24 $$
    $$ y_{min}=y(2)=-24 $$
  • Исследовать функцию \( у=4^2-x^4 \)


    Решение:  \( у=4^2-x^4 =-x^4+4^2=-x^4+16  \) 
    график -парабола , ветви вниз , парабола поднята вверх на 16
    вершина параболы х=0 у=16
    D(x)=(-,беск. +беск)  Е(х)=(-беск. 16)
    функция возрастает от -беск до 16  убывает от16 до +беск
     наибольшее значение у=16  наименьшего нет
     график симметричен относительно оси ОУ
     четная т.к. нет члена с х
     не периодическая

  • Найти предел функции НЕ применяя правило Лопиталя: lim x->2 (3х-5)^(2х/(х^2-4))
    (в степени дробь)


    Решение: Соображения такие  limx->2(3x-5)=1  показатель  2x/(x^2-4)=2x/(x(x-4/x))=2/(x-4/x)
    lim(x->2)(2/(x-4/x)=2/0=бесконечности, а 1 в степени бесконечность = 1

    Можно воспользоваться таким следствием из второго замечательного предел что 
     $$ lim \\ x->0 \\ \frac{ln(1+x)}{x}=1 $$ 
     Перейдем к нашему пределу 
     $$ x->2 \\ \ (3x-5)^{\frac{2x}{x^2-4}}\\ x->2 \\ \ e^{\frac{ln(3x-5)*2x}{x^2-4}} $$ 
    сделаем теперь некую замену $$ x-2=y $$ , тогда $$ y->0 $$ предел примет вид без основания 
      $$ y->0 \\ \frac{ln(3y+1)*2(y+2)}{y^2-4y}\\ y->0 \\ \frac{ln(3y+1)*4}{3y(\frac{y}{3}+\frac{4}{3})}=\\ y->0 \\ \ 1*\frac{4}{\frac{4}{3}}=3 $$
     то есть предел равен $$ e^3 $$

  • Установить, четной или нечетной является функция: y=3x в 6 степени+x во 2-й степени y=8x в 5 степени -х


    Решение: вычислим в каждом случае f(-x):

    f(-x) = 3(-x)⁶ + (-x)² = 3x⁶ + x² = f(x) - функция чётная

    f(-x) = 8(-x)⁵ - (-x) = -8x⁵ + x = -(8x⁵ -x) = -f(x) - условие нечётности функции

    у=3х в 6 ст.+х в 2 ст.

    у=3*(-х)в 6 ст.+(-х)в 2 ст.=3х в 6 ст. +х в 2 ст.

    чётная функция

    у=8х в 5 ст.-х

    у=8* (-х)в 5 ст.-(-х)=-8х+х

    не чётная 

  • Докажите, что функция является чётной1)y=-xв4 степени+8xв квадрате
    2)y=xв кубе- 1:x дробью



    Решение: Если подставить например число 2
    то получить 16+256 числа четные и функция чётная
    да и вообще если степень 2,4,6,8,10 то четная если 1,3,5 и тд то не чётная

    функция четная если f(x)=f(-x)
    1)y=-xв4 степени+8xв квадрате
    f-(x)=-(-x)^4+8(-x)^2=-x^4+8x^2=f(x) четная
    2)y=xв кубе- 1:x дробью

    f(-x)=((-x)^3-1)/(-x)=-(x^3+1)/-x=(x^3+1)/x не четная и не неяетная

  • Исследовать на максимум и минимум функцию y= -x(в4 степени)+2x(во 2 степени)+1


    Решение: Исследование на максимум и минимум функции

    y=-x^4 +2x^2+1

    Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и приравнять к 0

    y’=-4x^3+4x

    y=0

    -4x^3+4x=0

    x^3-x=0

    x(x^2-1)=0

    x(x-1)(x+1) = 0

    x = 0, x=1, x=-1 - точки экстремума,в которых производная меняет знак

    Если y’ меняет знак с "+" на "-", то это точка максимума, если с "-" на "+", то точка минимума

    y’=-4x^3+4x = -x(x-1)(x+1)

    y’>0 при х (-бесконечность;1) и (0;1)
    y’<0 при х (-1;0) и (1;+бесконечность)
    Следовательно, x=-1 и x=-1 -точки максимума

    x=0 -точка минимума

    Исследование на максимум и минимум функции
y -x x 
Чтобы найти точки экстремума нужно найти производную и приравнять к 
y - x x
y 
- x x 
x -x 
x x - 
x x- x 
x x x - - точки...
  • Найдите точку минимума функции y=(13-x)*e в степени 13-x


    Решение: Решение
    Находим первую производную функции:
    y’ = -( - x + 13)e^(- x + 13) - e^(- x + 13)
    или
    y’ = (x -14)e^(- x + 13)
    Приравниваем ее к нулю:
    (x - 14) e^(- x + 13) = 0
    e^(- x + 13) ≠ 0
    x - 14 = 0
    x = 14
    Вычисляем значения функции 
    f(14) = 1/e
    Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
    y’’ = (- x + 13)e^(- x + 13) + 2e^(- x + 13)
    или
    y’’ = (- x+15)e^(- x + 13)
    Вычисляем:
    y’’ (14) = (- 14+15)e^(- 14 + 13) = e⁻¹ = 1/e
    y’’(14) = 1/e > 0 - значит точка x = 14 точка минимума функции.

  • Определить четная или не четная функция.: y=3х(во второй степени)+1 y=3х( в второй степени)+х; y=5х (втретьей степени) y=5х( в третьей степени)+х


    Решение: Функция является четной если y(-x)=y(x);

    Функция является нечетной если y(-x)=-y(x).

    1) y(x)=3x^2+1

    y(-x)=3(-x)^2+1=3x^2+1;

    y(-x)=y(x), значит функция является чётной.

    2)y(x)=3x^2+x

    y(-x)=3(-x)^2+(-x)=3x^2-x.

    Чётность функции определить нельзя.

    3) y(x)=5x^3

    y(-x)=5(-x)^3=-5x/

    y(-x)=-y(x), значит функция является нечётной.

    4) y(x)=5x^3+1

    y(-x)=5(-x)^3+1=-5x^3+1.

    Чётность функции определить нельзя.