многочлен » многочлен разложить на множители
  • Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом). Один из его корней равен 2+i.


    Решение: $$ x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0 $$

    Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
    Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)=\\= x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db $$

    имеем систему
    $$ \left\{ {c+a=-4 \atop d+a+b=2} \right. \left\{ {ad+bc=12 \atop bd=-15} \right. $$

    рассмотрим методом подбора 
    в= -3 d=5
    a=-4-c
    подставим во второе

    $$ (-4-c)*5-3c=12 - 8c=32 c=-4 a=0 $$

    проверим по второму уравнению
    d+a+b= 5+0-3= 2

    нам подходит. Тогда запишем в виде

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5) $$

    рассмотрим второй множитель

    $$ x^{2} -4x+5=0 D=16-20 < 0 $$

    корней нет

    $$ (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})( x^{2} -4x+5) $$



  • Многочлен x⁴-4x³+2x²+12x-15 разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами (квадратичные множители - с отрицательным дискриминантом). Один из его корней равен 2+i.


    Решение: $$ x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2} +12x+15=0 $$

    Раскладываем с помощью МНК (метода неопределенных коэффициентов)
    Знаем, что любое уравнение четвертой степени раскладывается на два квадратных по принципу:

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)=\\= x^{4}+ x^{3}(c+a)+ x^{2} (d+a+b)+x(ab+bc)+db $$

    имеем систему
    $$ \left \{ {{c+a=-4} \atop {d+a+b=2}}\right.\\ \left \{ {{ad+bc=12} \atop {bd=-15}} \right. $$

    рассмотрим методом подбора 
    в= -3 d=5
    a=-4-c
    подставим во второе

    $$ (-4-c)*5-3c=12 \\ -8c=32 \\ c=-4 a=0 $$

    проверим по второму уравнению
    d+a+b= 5+0-3= 2

    нам подходит. Тогда запишем в виде

    $$ ( x^{2} +ax+b)( x^{2} +cx+d)= ( x^{2} -3)( x^{2} -4x+5) $$

    рассмотрим второй множитель

    $$ x^{2} -4x+5=0 \\ D=16-20 < 0 $$

    корней нет

    $$ (x- \sqrt{3})(x+ \sqrt{3})( x^{2} -4x+5) $$



  • 1. Преобразуйте в многочлен: а) (х + 4)2; в) (2у + 5)(2у – 5); б) (3b – с)2; г) (у 2 – х)(у 2 + х). 2. Разложите на множители: а) 1/9– а2; б) b2 + 10b+ 25. 3. Выполните действия: а) 3(1 + 2ху)(1 – 2ху); в) (а + b)2 – (аb)2. б) (х 2 – у 3) 2;


    Решение: 1.а)х^2+8х+16
    б)9в^2-6вс+с^2
    в)4у^2-25
    г)у^4-х^2
    2.а)(1/3-а)(1/3+а)
    б)(в+5)^2
    3.а)3-12х^2y^2
    б)x^4-2x^2*y^3+y^9
    в)a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab

    1.а) (х + 4)^2=x^2+8x+16  в) (2у + 5)(2у – 5)=4y^2-25
      
    б) (3b – с)^2=9b^2-6bc+c^2 г) (у 2 – х)(у 2 + х)=y^4+x^2
    2.а) 1/9– а^2=(1\3-a)(1\3+a) б) b^2 + 10b+ 25=(b+5)^2
    3.а) 3(1 + 2ху)(1 – 2ху)=3(1-4x^2y^2)=3-12x^2y^2
     
    б) (х 2 – у 3) 2=x^4-2x^2y^3+y^6
     
        в) (а + b)2 – (а – b)2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab

  • 2) Разложите многочлен на множитель:
    а) a^3-a^2+a-1
    б) x^2-xy-9x+9y
    в) m^2-8m+12
    3) Решите уравнение:
    а)m(m-5)+8(m-5)=0
    б) y(y+2)+y+2=0


    Решение: 3) m(m-5)+8(m-5)=0
    (m-5)(m+8)=0
    Ответ: m=5, m=-8
    2) y(y+2)+y+2=0
    (y+2)(y+1)=0
    y=-2, y=-1

    2) Разложите многочлен на множитель: 
    а) a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1)
    б) x^2-xy-9x+9y=x(x-9)-y(x-9)=(x-9)(x-y)
    в) m^2-8m+12 по теореме Виета сумма равна 8, произведение 12. очевидно, m=6 и m=2. Тогда m^2-8m+12=(m-6)(m-2)

  • разложение многочлена на множители способом группировки: 16m(в квадрате)-24mn+10mk-15nk.12x(в квадрате)-12xy+7x-7y. 20px+15xy-12py-25x(в квадрате). 42mk(в квадрате)+28mn(в квадрате)-27nk(в квадрате)-18n(в кубе)


    Решение: 16m(в квадрате)-24mn+10mk-15nk; (16m^2 + 10mk) + (-15nk - 24mn); 2m(8m+5k)+3n(8m+5k); (8m+5k)(2m+3n)

    12x(в квадрате)-12xy+7x-7y; (12x^2-12xy)+(7x-7y); 12x(x-y)+7(x-y); (x-y)(12+7)

    20px+15xy-12py-25x(в квадрате); (20px-12py)+(15xy-25x^2); 4p(5x-3y)-5x(5x-3y); (4p-5x)(5x-3y)

    42mk(в квадрате)+28mn(в квадрате)-27nk(в квадрате)-18n(в кубе); (42mk^2-27nk^2)+(28mn^2-18n^3); 3k^2(14m-9n)+2n^2(14m-9n); (3k^2+2n^2)(14m-9n)

  • Тема: Разложение многочлена на множители

    1) Разложить на множители:3a+3a^2-b-ab

    2) Преобразуйте произведения (n^2-n-1)(n^2-n+1) в многочлен стандартного вида:

    3) Известно, что 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2). Найдите a^2+b^2:


    Решение: 1) 3a + 3^a - b- ab= 3a(1+a) -b(1+a) = (3a-b)(1+a)

    объясняю:

    сгруппировали 1 и 2 члены, и 3 и 4, потом вынесли за скобки общий член, то что за скабками объединили между собой с с тем что в скобках

    2) (n^2 - n)^2 - 1

    обычно раскладывается так, так как мы можем принять единицу в квадрате

    3) не знаю(

    извини. если непонятно объяснила((

    1) Разложить на множители:

    3a+3a²-b-ab=(3a+3a²)+(-b-ab)=3a(1+a)+(-(b+ab))=3a(1+a)-(b+ab)=3a(1+a)-b(1+a)=(1+a)(3a-b)

    2) Преобразуйте произведения (n²-n-1)(n²-n+1) в многочлен стандартного вида:

    Для того чтобы данное выражение преобразовать в многочлен, необходимо перемножить обе скобки

    (n²-n-1)(n²-n+1)=n⁴-n³+n²-n³+n²-n-n²+n-1

    далее группируем (или приводим подобные члены)

    n⁴+(-n³-n³)+(n²+n²-n²)+(-n+n)-1=n⁴-2n³+n²-1

    3) Известно, что 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2). Найдите a²+b²

    За основу берём выражение

    2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)

    поочерёдно раскрываем скобки

    2(аb+a+b+1)=a²+ab+2a+ab+b²+2b

    2ab+2a+2b+2=a²+ab+2a+ab+b²+2b

    группируем правую половину уравнения

    2ab+2a+2b+2=a²+(ab+ab)+2a+b²+2b

    2ab+2a+2b+2=a²+2ab+2a+b²+2b

    a²+b²=2ab+2a+2b+2-(2ab+2a+2b)

    a²+b²=2ab+2a+2b+2-2ab-2a-2b

    снова группируем

    a²+b²=(2ab-2ab)+(2a-2a)+(2b-2b)+2

    a²+b²=2

  • Что такое разложение многочлена на множители способом группировки


    Решение: Рассмотрим разложение многочлена на множители способом группировки на конкретном примере:
     35a 2+7a 2b 2+5b+b 3 =  
      сгруппируем слагаемые скобками;  
    = (35a 2+7a 2b 2) + (5b+b 3) =  
    вынесем за скобки общий множитель первой, а затем и второй группы;  
      = 7a 2 • (5+b 2) + b • (5+b 2) =  
    у нас получилось выражение из двух слагаемых, в каждом из которых присутствует общий множитель (5+b 2),  
      который мы вынесем за скобку;  
     = (7a 2+b) • (5+b 2).
    Значит:  
     35a 2+7a 2b 2+5b+b 3 = (7a 2+b) (5+b 2). 
    Разложим на множители ещё один многочлен : 
      10b 2a – 15b 2 – 8аb + 12b + 6а – 9 =  
      сгруппируем слагаемые скобками;  
      = (10b 2a – 15b 2) – (8аb – 12b) + (6а – 9) =  
      вынесем за скобки общий множитель первой,  
      а затем второй и третьей группы;  
      = 5b 2 • (2a – 3) – 4b • (2а – 3) + 3 • (2а – 3) =  
      у нас получилось выражение из трех слагаемых, в каждом  
      из которых присутствует общий множитель   (2а – 3),  
      который мы вынесем за скобку;  
      = (5b 2 – 4b + 3) • (2a – 3). 
      Рассмотрим разложение многочлена на множители способом  
    группировки ещё на одном примере:  
      15a 2 – 13a – 20 =  
      представим слагаемое –13а, как   – 25а + 12а ;  
      = 15a 2 – 25а + 12а – 20 =  
      сгруппируем слагаемые скобками;  
      = (15a 2 – 25а) + (12а – 20) =  
      вынесем за скобки общий множитель первой,  
      а затем и второй группы;  
      = 5a • (3a – 5) + 4 • (3а – 5) =  
      у нас получилось выражение из двух слагаемых, в каждом  
      из которых присутствует общий множитель   (3а – 5), 
      который мы вынесем за скобку;  
      = (5a + 4) • (3a – 5). 

  • X^2+3x+2= Это разложение многочлена на множители


    Решение: Так как всего три члена у этого многочлена, то подойдет способ разложения одного члена на два. Лучше всего 3x на 2x и 1x(или просто x)
    x^2+x+2x+2
    Лучше всего скомпоновать первый и второй; третий и четвертый.
    x(x+1)+ 2(x+1)= (x+2)(x+1)

    Ну самый легкий способ разложение квадратного многочлена это через Дискриминант. D=b²+4ac далее находите х1 и х2 это будет х1,2=-b-+√D/2a.
    Теперь решаем твое уравнение: x²+3x+2=0
     D=3²+4*1*2=17
      x1,2=-3-+√17/2
    т. к. корня из 17 нет то оставляем как есть и записываем ответ.
     

  • Разложение многочлена на множители. в) \( z^3 +21+3z+7z^2 \)
    \( z-3z^2+z^3 -3 \)


    Решение: В) z³ + 21 + 3z + 7z² =
    объединяем попарно слагаемые
    = (z³ + 3z) + (7z² + 21) =
    выносим за скобки общие множители
    = z(z² + 3) + 7(z² + 3) =
    выносим вперёд общую скобку
    =(z² + 3)(z + 7)
    всё, разложение многочлена на множители закончено.
    г) z - 3z² + z³ - 3 =
    объединяем попарно слагаемые
    = (z³ + z) - (3z² + 3) =
    выносим за скобки общие множители
     = z(z² + 1) - 3(z² + 1) =
    выносим вперёд общую скобку
    = (z² + 1)(z - 3)
    конец работы

  • Дайте 2 примера на тему: разложение многочлена на множители способом группировки, .


    Решение: 35a 2+7a 2b 2+5b+b 3   =  
      сгруппируем слагаемые скобками;  
      = (35a 2+7a 2b 2)   +   (5b+b 3)   =  
      вынесем за скобки общий множитель первой,  
      а затем и второй группы;  
      = 7a 2 • (5+b 2)   +   b • (5+b 2)   =  
      у нас получилось выражение из двух слагаемых, в каждом  
      из которых присутствует общий множитель   (5+b 2).  
      Его мы вынесем за скобку;  
      = (7a 2+b) • (5+b 2). 
      Значит:  
      35a 2+7a 2b 2+5b+b 3   = (7a 2+b) (5+b 2). 
      Разложим на множители ещё один многочлен : 
      10b 2a – 15b 2 – 8аb + 12b + 6а – 9 =  
      сгруппируем слагаемые скобками;  
      = (10b 2a – 15b 2) – (8аb – 12b) + (6а – 9) =  
      вынесем за скобки общий множитель первой,  
      а затем второй и третьей группы;  
      = 5b 2 • (2a – 3) – 4b • (2а – 3) + 3 • (2а – 3) =  
      у нас получилось выражение из трех слагаемых, в каждом  
      из которых присутствует общий множитель   (2а – 3).  
      Его мы вынесем за скобку;  
      = (5b 2 – 4b + 3) • (2a – 3). 

1 2 3 > >>