интеграл » интеграл и производная
  • Найти неопределённый (обычный) интеграл и
    проверить его дифференцированием (взять производную, кроме 1-ого номера):
    \( 1a). \ \ \ \ \int{ d ( arcsin{x} ) } \ ; \)\( 1b). \ \ \ \ \int{ d|x| } \ ; \)\( 1c). \ \ \ \ \int{ d \ln{ arctg{x} } } \ ; \)
    \( 2a). \ \ \ \ \int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } \, dx \ ; \)\( 2b). \ \ \ \ \int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } \, dx \ ; \)
    \( 2c). \ \ \ \ \int{ \frac{6dx}{ (x-12)^3 } } \ ; \)\( 2d). \ \ \ \ \int{ \frac{12dx}{ (19-x)^7 } } \ ; \)
    \( 3a). \ \ \ \ \int{ \frac{3dx}{ 9-2x } } \ ; \)\( 3b). \ \ \ \ \int{ \frac{2dx}{ 3x-7 } } \ ; \)
    \( 4a). \ \ \ \ \int{ \frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } \ ; \)\( 4b). \ \ \ \ \int{ \frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } \ ; \)\( 4c). \ \ \ \ \int{ \frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } \ ; \)


    Решение: $$ 1a). \ \ \int d(\arcsin x)=\arcsin x+C\\\\ 1b). \ \ \int d|x|=|x|+C\\\\ 1c). \ \ \int d\ln \arctan x=\ln (\arctan x)+C \\ 2a). \ \ \int (8x^3-12(2-x)^5)dx=\int 8x^3dx-\int 12(2-x)^5dx=\\\\ =8\int x^3dx+12\int(2-x)^5d(2-x)=8\cdot \frac{x^4}{4}+ \frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\\\ =2x^4+2(2-x)^6+C $$
    Проверка:
    $$ (2x^4+2(2-x)^6)’=8x^3+2\cdot6\cdot(-1)\cdot(2-x)^5\cdot=8x^3-12(2-x)^5 $$
    Проверка:
    $$ 2c). \ \ \int \frac{6dx}{(x-12)^3} =6\int(x-12)^{-3}d(x-12)=6\cdot \frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- \frac{3}{(x-12)^2} +C $$
    Проверка:
    $$ (- \frac{3}{(x-12)^2} )’=-3\cdot((x-12)^{-2})’=-3\cdot(-2)\cdot(x-12)^{-3}= \frac{6}{(x-12)^3} \\ 2d). \ \ \int \frac{12dx}{(19-x)^7}=12\int (19-x)^{-7}dx=\\\\=-12\int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12\cdot \frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= \frac{2}{(19-x)^6}+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{2}{(19-x)^6})’=2\cdot((19-x)^{-6})’=2\cdot(-6)(-1)\cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= \frac{12}{(19-x)^7} \\ 3a). \ \ \int \frac{3dx}{9-2x} =3\int \frac{dx}{9-2x} =- \frac{3}{2} \int \frac{d(9-2x)}{9-2x}=- \frac{3}{2}\ln|9-2x|+C $$
    Проверка:
    $$ - \frac{3}{2}(\ln|9-2x|)’=- \frac{3}{2}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{9-2x}= \frac{3}{9-2x} \\ 3b). \ \ \int \frac{2dx}{3x-7}=2\int \frac{dx}{3x-7}= \frac{2}{3} \int \frac{d(3x-7)}{3x-7}= \frac{2}{3}\ln|3x-7|+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{2}{3}\ln|3x-7|)’= \frac{2}{3}\cdot3\cdot \frac{1}{3x-7}= \frac{2}{3x-7} \\ 4a). \ \ \int \frac{4xdx}{2x^2-5}= \frac{4}{2}\int \frac{2xdx}{2x^2-5}=2\int \frac{dx^2}{2x^2-5}= \frac{2}{2}\int \frac{d2x^2}{2x^2-5} =\int \frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\\\ =\ln |2x^2-5|+C $$
    Проверка:
    $$ (\ln |2x^2-5|)’= \frac{1}{2x^2-5} \cdot 4x= \frac{4x}{2x^2-5} \\ 4b). \ \ \int \frac{11xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{2}\int \frac{2xdx}{7x^2+6}=\\= \frac{11}{14} \int \frac{d7x^2}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\int \frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\ln |7x^2+6|+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{11}{14}\ln|7x^2+6| )’= \frac{11}{14}\cdot(\ln|7x^2+6|)’\cdot(7x^2+6)’= \frac{11}{14}\cdot14x\cdot \frac{1}{7x^2+6}=\\\\ = \frac{11x}{7x^2+6} $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{1}{6}\ln|9x^2-x|)’= \frac{1}{6}(\ln|9x^2-2|)’\cdot(9x^2-2)’= \frac{1}{6}\cdot18x\cdot \frac{1}{9x^2-2}= \frac{3x}{ 9x^2-2} $$

  • Найти производную \( f’( x_{0}) \)
    1) \( f(x)= \frac{3^{x} }{x^{2} } \) \( x_{0}= -1 \)
    2) \( f(x)=8ln2,3x \\ x_{0}=2 \)
    3) \( f(x)=log_{2}(3-2x) \\ x_{0}=1 \)
    Найти интеграл
    1) \( \int\limits^2_{-2} {(5^ \frac{x}{4} -sin \pi x)} \, dx \)


    Решение: 1)
    f=3^x/x^2=e^(x*ln(3)-2*ln(x))
    f’=e^(x*ln(3)-2*ln(x)) * (ln(3) - 2/x) = 3^x/x^2 * (ln(3) - 2/x) = 3^x/x^2 * ln(3) - 2*3^x/x^3
    f’(x=-1) =3^(-1)/(-1)^2 * ln(3) - 2*3^(-1)/(-1)^3 = ln(3) / 3 + 2/3 ~ 1,032871
    2)
    f=8ln(2,3x)=8ln(2,3)+8ln(x)
    f’=-8/x
    f’(x=2)=-8/2=-4
    3)
    f=log[2](3-2x) = ln(3-2x)/ln(2)
    f’=1/((3-2x)*ln(2)) * (-2)=1/((x-1,5)*ln(2))
    f’(x=1)=1/((1-1,5)*ln(2)) = -2/ln(2)
    4) integrar [-2;2] (5^(x/4)+sin(pi*x)) dx = integrar_1 + integrar_2
    integrar_1 = integrar [-2;2] (5^(x/4)) dx = 5^(x/4) * 4/ln(5) [подстановка от -2 до 2] =(5^(2/4)-5^(-2/4)) * 4/ln(5) =(корень(5)-1/корень(5))) * 4/ln(5)=корень(5)*(1-1/5)) * 4/ln(5) = 16*корень(5) / (5*ln(5) )
    integrar_2 =0 (интеграл от нечетной функции в симметричных пределах)
    integrar_2 =integrar [-2;2] (sin(pi*x)) dx =-cos(pi*x)/pi [-2;2] [подстановка от -2 до 2] =-cos(pi*2)/pi -cos(-pi*2)/pi =0

  • интеграл xdx/x^2-5x+6 и еще 2 частные производные z=cosxy ; z=корень(xy)


    Решение: 1) x x A B

      - =- = - + - ;

      x²-5x+6 (x-2)(x-3) x-2 x-3

    При х=2: А=2/(-1)=-2. При х=3: В=3/1=3.

      х dx dx dx

      ∫ - = -2 ∫ - + 3 ∫ - = -2ln|x-2| +3ln|x-3| +C

      x²-5x+6 x-2 x-3

     

    2) z=cos(xy)

      z¹(по х) = -sin(xy) *y= -y*sin(xy)

     z¹(по у)= -sin(xy) *x= -x*sin(xy)

    3) z=√(xy) y

      z¹(по х)= 1/ (2√(xy) ) *y= -

      2√(xy)

      х

    z¹(по у)= -

      2√(ху)