интеграл » полный интеграл
  • Решить определённый интеграл: \( \int_0^2\ln(x^2+4)dx \)


    Решение: Интегрируем по частям $$ \int \limits^b_a {u} \, dv = uv |^b_a - \int \limits^b_a {v} \, du \\ \\ u= \ln{(x^2+4)}; \ \ du=\frac{2x \, dx}{x^2+4} \\ \\ dv=1 \, dx; \ \ v= \int 1 \, dx=x \\ \\ \int\limits^2_0 {\ln{(x^2+4})} \, dx = x \cdot \ln{(x^2+4)}|^2_0 - \int \limits^2_0 {x \cdot \frac{2x}{x^2+4}} \, dx = \\ \\ =(2 \cdot \ln{(2^2+4}) - 0) - 2\int \limits^2_0 {\frac{x^2}{x^2+4}} \, dx =2 \ln{8} - 2\int \limits^2_0 {\frac{(x^2+4)-4}{x^2+4}} \, dx = \\ \\ \\ =2 \ln{8} - 2 \cdot (\int \limits^2_0 {1} \, dx - \int \limits^2_0 {\frac{4}{x^2+4}} \, dx)= \ln{8}^2 - 2 \cdot (x|^2_0 -4 \int \limits^2_0 {\frac{1}{x^2+2^2}} \, dx)=\\ \\ = \ln64 - 2 \cdot (x - 4 \cdot \frac{1}{2} arctg \, \frac{x}{2})|^2_0 = \ln 64 - 2 \cdot (2 -2arctg\,1 - 0+0)=\\ \\ =\ln64 - 4 +4 \cdot \frac{\pi}{4}=\ln 64 -4 + \pi $$

  • Вычислите интеграл с помощью формулы НЬТОНА-ЛЕЙБНИЦА (выполните подстановку числовых пределов)
    \( \int\limits^3_2 {5xdx/(x-1)( x^{2} +2x+2)} \)
    Решение подробно


    Решение: Решим сначала интеграл.
     $$ \int\limits { \frac{5x}{(x-1)(x^2+2x+2)} } \, dx =5 \int\limits {( \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}) } \, dx \,\,\,\boxed{=} \\ \frac{x}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}= \frac{A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+2x+2)} \\ \\ x=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1) \\ x^1\,\,\,:\,\,\, 1=5A;\\x^0\,\,\,:\,\,\, 0=2A-C\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,C= \frac{2}{5} \\ x^{-1}\,\,\,:\,\,\,1=A-2(C-B);\Rightarrow\,\,\,\,B=- \frac{1}{5} \\ \boxed{=}\,\,5\cdot ( \int\limits { \frac{ \frac{1}{5} }{x-1} } \, dx + \int\limits { \frac{-\frac{1}{5} x+\frac{2}{5}}{x^2+2x+2} } \, dx)= \int\limits { \frac{1}{x-1} } \, dx -\int\limits { \frac{x-2}{x^2+2x+2} } \, dx=\\ \\ =\ln |x-1|-\int\limits { \frac{x-2}{(x+1)^2+1} } \, dx=\{x+1=u;\,\,dx=du\}=\\ =\ln|x-1|+\int\limits { \frac{u-3}{u^2+1} } \, dx=\ln|x-1|+0.5\ln|u^2+1|-3arctg u+C=\\ =\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} +C $$
    Вычисляем определённый интеграл
    $$ (\ln|x-1|- \frac{\ln(x^2+2x+2)-6arctg(x+1)}{2} )|^3_2=\\= \frac{2\ln 2-\ln17+\ln10+6arctg4-6arctg3}{2} $$

  • Как посчитать интеграл (в числителе 2 в степени корень из х, а в числителе корень из х)?
    можно полное решение


    Решение: Видимо, в числителе 2^√(x), а в ЗНАМЕНАТЕЛЕ √(х).
    Тогда, заменяем: y=√(x). Найдем производную в правой и левой части:
    dy=1/(2*√(х))dx.
    Или же можно записать так: 2dy=1/√(х) dx
    Следовательно, интеграл имеет вид:
    в числителе 2*2^y
    в знаменателе 1
    Интеграл от 2*2^y = 2*2^y/ln(2)
    Обратная замена: 2*2^√(x)/ln(x) = 2^(√(x)+1)/ln(x)

  • Выполнить чертеж данных функций
    Искомую площадь представить как сумму или разность площадей
    Из условия задачи и чертежа определить пределы интегрирования
    Вычислить Интеграл.
    1) y=sinx, y=x, x=pi(п)


    Решение: Из условия и чертежа пределы интегрирования будут 0,π.
    ∫(в пределах 0,π) sin(x)= -cos(0)-(-cos(π))=-1-1=-2
    2 - есть искомая площадь.

    Из условия и чертежа пределы интегрирования будут . в пределах sin x -cos - -cos - - - - есть искомая площадь....
  • При каких значениях x выполняется равенство интеграл с пределами X(больший предел) и 0(меньший предел) (3-2t)dt=4-2x


    Решение: Интеграл(от  0  до  х) (3  -  2t)dt  =  (3t  -  t^2)  (от  0  до  х) = 3х - 3х^2 - 3*0 - 3*0^2 =
                                                     =  3x  -  x^2.
    Полученное  значение  интеграла  приравняем  4  -  2х  и  решим.
    3х  -  x^2  =  4  -  2x
    x^2  -  2x  -  3x  +  4  =  0 
    x^2  -  5 x  +  4  =  0
    По  теореме  Виета  х_1  =  1,  х_2  =  4.
      Ответ.  Равенство  выполняется  при  х_1  =  1,  х_2  =  4

  • Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата
    ∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx


    Решение: $$ \displaystyle I=\int\frac{11x-3}{x^2+6x+13}\,dx $$
    Найдем производную знаменателя и выделим её в числителе.
    $$ \displaystyle (x^2+6x+13)’=2x+6; \ 11x-3=5.5(2x+6)-36 $$
    Теперь интеграл разбивается на два.
    $$ \displaystyle I=\int\frac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13}\,dx-\int\frac{36}{x^2+6x+13}\,dx= \\ \\ 5.5\int\frac{2x+6}{x^2+6x+13}\,dx-36\int\frac{1}{x^2+6x+13}\,dx =I_1-I_2 $$
    Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя.
    $$ \displaystyle I_1=5.5\int \frac{du}{u}=5.5\ln(u)+C_1=5.5\ln(x^2+6x+13)+C_1 $$
    Теперь займемся I₂.
    Выделим в знаменателе полный квадрат.
    x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4
    Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂
    $$ \displaystyle I_2=36\int \frac{du}{u^2+4} $$
    Это табличный интеграл:
    $$ \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}\, arctg \frac{x}{a}+C $$
    Тогда можно записать
    $$ \displaystyle I_2= 36\frac{1}{2}\,arctg \frac{u}{2}+C_2=18\,arctg \frac{x+3}{2}+C_2 $$
    Окончательно получаем
    $$ \displaystyle I=5.5\ln(x^2+6x+13)-18\,arctg \frac{x+3}{2}+C $$