интеграл »
интеграл числа
Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части
Решение: $$ y=|x|\\ y’=\frac{x}{|x|}\\ $$
интеграл от нее, известно что равен
$$ \int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C} $$, хотя по сути можно упрощение сделать. Это лите формальности
По формуле
$$ (x)=x-[x] $$, где $$ [x] $$ целая часть числа.
По свойству кусочных функций, сама дробная часть имеет период $$ T=1 $$, это видно из графика.
И она очевидно разрывна, что уже говорит что у нее производная будет равна
$$ {x}’=1 $$
Интеграл можно "раздробить" ориентируясь по графику, можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников, длинами катетов равными 1 и 1.
Если брать общее число каких то площадей, то тут суммарно не разберетеся, если же какой та определенный кусок есть.
к примеру от $$ 0 $$ до $$ "n" $$, то площадь этих треугольников, равна $$ \frac{1*1}{2} $$, если же перейти к примеру то
$$ \int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C $$Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.
Пример 1
2x-3y+6=0 y=0 ; x=3
Пример 2
y=-x^2+6x-5 y=0 ; x=2 ; x=3
Решение: 1. 2x-3y+6=0
3y = 2x+6
y = 2/3x+2
Точка пересечения графиков (приравниваем функции).
2/3x+2 = 0
2/3x = -2
x = -3
M(-3; 0)
Фигура сверху ограничена прямой y = 2/3x+2, снизу прямой y=0, слева точкой x=-3, справа прямой x=3.
$$ \int_{-3}^3(\frac23x+2-0)dx=\int_{-3}^3(\frac23x+2)dx=\left.(\frac13x^2+2x)\right|_{-3}^3=\\=\frac13(3)^2+2\cdot3-\frac13(-3)^2-2(-3)=\frac93+6-\frac93+6=12 $$
2. Сверху фигура ограничена параболой y=-x^2+6x-5, снизу прямой y=0, слева и справа прямыми x=2 и x=3 соответственно.
$$ \int_2^3(-x^2+6x-5-0)dx=\int_2^3(-x^2+6x-5)dx=\\=\left.(-\frac13x^3+3x^2-5x)\right|_2^3=-\frac{(3)^3}3+3(3)^2-5\cdot3+\frac{(2)^3}3-3(2)^2+5\cdot2=\\=-9+27-15+\frac83-12+10=1+\frac83=1+2\frac23=3\frac23 $$
Решается просто: сначала нарисуйте заданные линии (можно схематически), затем определите левую и правую границы (они либо заданы, как в примере 2, либо находятся, как точки пересечения графиков). Эти границы будут пределами интегрирования. Под знаком интеграла вычитаем из "верхней" (график которой выше) функции "нижнюю" (график которой ниже).Найти интеграл S (1 + 1/4х)^2 хdx, Найти интеграл S е^х (е^х +1)^4 dx, Найти интеграл S cos^3 4xdx, Вычислить S (внизу 0 наверху 2) dx/ (2+1)^2
Решение: S(1+ 1/4х)^2 хdx=S(1+(1/2)x+(1/16)*x^2)xdx =S(x+(1/2)x^2+(1/16)*x^3)dx =(1/2)x^2++(1/6)x^3+(1/64)*x^4 +C
S е^х (е^х +1)^4 dx = S(e^x+1)^4(de^x+1) = (1/5)(e^x+1)^5+C
S cos^3 4xdx = S(cos^2(4x)*cos4x )dx = (1/4)S(1-sin^2(4x))cos4xd(4x)=
=(1/4)S(1-sin^2(4x)dsin4x= (1/4)*(sin4x-(1/3)sin^3(4x))+C
S (внизу 0 наверху 2) dx/ (2+1)^2 = S(от0 до 2)(1/3^2)dx =(1/9)S(от0до2)dx=(1/9)x Iот0 до 2I=
(1/9)*(2-0) =2/9
Вычислитель интеграл от 4 до -4 х*|х|
Решение: Функция у = х*|х| нечетная. График симметричен относительно начала координат. Потому достаточно найти определенный интеграл только на одном участке, а затем (в силу симметричности) удвоить его.Возьмем промежуток от 0 до 4. На этом участке функция монотонно растет. Первообразная имеет вид x^3/3 + C. В нуле она равна С. В точке с абсциссой 4 равна 64/3 +С. По формуле Ньютона - Лейбница 64/3 +С - С = 64/3.
Не забываем удвоить его и записать ответ:
128/3 = 42 2/3.
1. Какая из функций является первоначальной для функции ∫(х)=3х²
2. Найдите для функции f(х) = 8х³, первоначальную, график которой проходит через точку А (1, 2).
3. Вычислите интеграл \( \int\limits^0_ 1 ({x} +1)\, dx \)
Решение: РЕШЕНИЕ
1) Для этого находим интеграл функции
Y 3x²
∫3x²dx = x³ + С - ОТВЕТ
2) Находим интеграл функции
Y = 8x³
Z = ∫8x3dx = 1/4*8*x⁴ + С = 2*x⁴ +С
Чтобы найти значение С подставим значения координат точки А(1;2) = Х=1 Z=2
Z = Ay = 2 = 2*1⁴ + C или С = 0
Z= 2*x⁴ - ОТВЕТ
3) Вычислить интеграл функции
Y = ∫(x+1)dx = 1/2*x² + x + С
Y(0) = 0
Y(1) = 3/2 -
Как написано = от 1 до 0, то ОТВЕТ : -3/2
Найти производные, используя правила вычисления производных \(1)\; y=-\frac{1}{7}x^3-2cosx+11,3\\2)\; y=\sqrt3sinx\cdot \sqrt[4]{x}\\ 3)\; y=cos^3x+3sin^2x\\ \)
Найти неопределенные интегралы \( \int (2-13x^7-2\sqrt[4]{x^7}+\frac{1}{x^3})dx\\ \int arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx\;,\; du\\ \)
Решение: $$ 1)\; y=-\frac{1}{7}x^3-2cosx+11,3\\\\y’=-\frac{3}{7}x^2+2sinx\\\\2)\; y=\sqrt3sinx\cdot \sqrt[4]{x}\\\\y’=\sqrt3cosx\cdot \sqrt[4]{x}+\sqrt3sinx\cdot \frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}\\\\3)\; y=cos^3x+3sin^2x\\\\y’=3cos^2x\cdot (-sinx)+6sinx\cdot cosx=-3cos^2x\dot sinx+3sin2x\\\\4)\int (2-13x^7-2\sqrt[4]{x^7}+\frac{1}{x^3})dx=2x-13\cdot \frac{x^8}{89}-2\cdot \frac{x^{\frac{11}{4}}\cdot 4}{11}+\frac{x^{-2}}{-2}+C \\ \int arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx\;,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;,\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx-\int \frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=x\cdot arcsinx+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C $$Вычислите интегралы \( \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3}\)
Решение: 2) = (tgx -Cosx)| в пределах от -π/4 до π/4 =
= (tgπ/4 -Сosπ/4)-(tg(-π/4) - Cos(-π/4))=
=1 -√2/2 +1 +√2/2 = 2$$ \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} ( \frac{1}{cos^2x}+sinx) \, dx=(tgx-cosx)|^{ \pi /4} _{- \pi /4}=\\\\=(tg \pi /4-cos \pi /4)-(tg(-\pi /4)-cos(- \pi /4))=\\\\=1- \sqrt{2}/2 -(-1- \sqrt{2}/2)=1- \sqrt{2}/2+1+ \sqrt{2}/2=2 \\ \int\limits^1_{-1} \sqrt{2x+3} \, dx =( \frac{1}{2}* \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} })|^1_{-1} =( \frac{(2x+3)^{ \frac{3}{2} }}{3})^1_{-1}=\\\\=\frac{(2*1+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}-\frac{(2*(-1)+3)^{ \frac{3}{2} }}{3}= \frac{5^{ \frac{3}{2}}-1^{ \frac{3}{2} } }{3} = \frac{5 \sqrt{5}-1 }{3} $$
Вычислите определенный интеграл:
а) интеграл на промежутке от 0 до Пи (3х+2)sinxdx
б) интеграл на промежутке от 0 до 1/(деленное) на корень из 2 arccos^3 x-1 делить на (под корнем) 1-X^2
Решение: А) $$ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx $$
Интегрируем по частям
$$ u=3x+2; $$ $$ du=3dx \\ dv=sinxdx; $$ $$ v=-cosx \\ \int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx=-cosx(3x+2)+3\int\limits^ \pi _0 {cosx} \, dx= \\ =(-cosx(3x+2)+3sinx) \mid^ \pi _0= \\ =(-cos \pi (3 \pi +2)+3sin \pi )-(-cos0(3*0+2)+3sin0)= \\ =(-(-1) (3 \pi +2)+0)-(-1*2+0)=3 \pi +2+2=3 \pi +4; $$
б) $$ = \int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 { \frac{arccos^3x-1}{ \sqrt{1- x^{2}}}} \, dx=\int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 {(arccos^3x-1)} \, d{(arccosx)}= \\ =(\frac{arccos^4x}{4}-arccosx) \mid^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0= \\ =(\frac{arccos^4(\frac{1}{ \sqrt{2}})}{4}-arccos(\frac{1}{ \sqrt{2}}))-(\frac{arccos^4*0}{4}-arccos0)= \\ =(\frac{ \pi ^4}{4^5}- \frac{ \pi }{4})-(\frac{ \pi ^4}{4*2^4}- \frac{ \pi }{2})=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}- \frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{2}=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{4}. $$
Вычислите интеграл сверху 3 снизу 0 (x^2 + (1-x)^2)dx
Решение: 3 3 3 3 3
∫ (x²+(1-x)²) dx= ∫(x²+1-2x+x²)dx= 2 ∫ x²dx - 2 ∫xdx + ∫dx =
0 0 0 0 0
3
=(2*x³/3 -2x²/2 +x) | =
0
=(2*27/3 -9 +3 - 0)= 11найти интеграл:
1. ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)²
2. вычислите интегралы:
а). верху 1 внизу0 ∫dx/(3x+1)⁴
б). верху 1внизу 0 ∫arcsinxdx
Решение: $$ 1)\; \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{(5x^4+2)^2}}=[t=5x^4+2,\; dt=20x^3\, dx\; \to \; x^3\, dx=\frac{dt}{20}\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{5x^4+2}+C\\\\2a)\; \int _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=[\, t=3x+1,\; dt=3\, dx\; \to \; dx=\frac{dt}{3},\;\\\\ t_1=3\cdot 1+1=4\;,\; t_2=3\cdot 0+1=1\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int _1^4\, t^{-4}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C= \\ =-\frac{1}{9(3x+1)^3}+C\\\\2b)\; \int_0^1arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx\, |_0^1-\int _0^1\frac{x\; dx}{\sqrt{1-x^2}}=(1\cdot arcsin1-0)+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\, |_0^1=\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1 $$
