интеграл » ограниченный интеграл
  • 1) Найти первообразные функции: f(х)=х2+2х+3.f(х)=х2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х2 и осью абцисс


    Решение: 1)

    $$ \int{x^2+2x+3}\, dx=\frac{x^3}3+x^2+3x+C \\ </span>\int{x^2-6x+8}\, dx=\frac{x^3}3-3x^2+8x+C<span> $$

    2)

    $$ </span>\int\limits^1_0 {x^2-2x+1} \, dx=(\frac{x^3}3-x^2+x)|_0^1=\frac{1}3-1+1=\frac{1}3<span> $$

    3)

    $$ \int\limits^4_0 {4x-x^2} \, dx=(2x^2-\frac{x^3}3)|_0^4=32-\frac{64}3=\frac{32}3 $$

    1, f(x)= x2+2x+3;

    F(x)= x3/3 + x2 + 3x.

      f(x)=x2 - 6x + 8

    F(x)= x3/3 - 3x2 + 8x. (То как это сделать на словах не обяснить так как нужно знать таблицу первообразных)

    2. Данный интеграл= x3/3 - x2 + x(дальше после этого всего нужно поставить линию ! вот как этот знак только длинее и без точки и с боку возле этой линии написать сверху "1" снизу "0")=(теперь это 1 и 0 подставляем вместо х вот что выходит) 1/3 - 1 + 1 - 0 + 0 - 0= 1/3

    3. Тут нужно рисовать но для рисунка этой функции нужно найти точки вершины а находим их так. есть формула что Х верха равен минус b и делится на 2а где b в нашем случае 4, а=1 когда все подставить в формулу то Х вершины= 2. Чтоб найти У вершины просто Х вершины подставляем в функции и тогда У=4

    Нужно найти нули функции

    Саму функцию (4х-х2) равняете к нулю то есть пишете

    4х-х2=0 и это нужно решить. Очень легко выносищь х за скобки и выходит

    х(4-х)=0 тогда ответ х=0 и х=4. По этому всему рисуете примерный график. 

    с графика будет видно что у нас выходит интеграл от 0 и до 4 той функции что тебе данна теперь считаем

    4S0(4x- x2)dx= 2x2 - x3/3(и опять та линия только теперь сверху 4 а снизу 0)=(снова подставляем это 4 и 0 только сначала берется 4) 32 - 64/3 -0 +0=32/3

    вот и ответ

  • 1) Найти первообразные функции: f(х)=х^2+2х+3.f(х)=х^2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х^2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х^2 и осью абцисс


    Решение: 1. F(x) = F(х^2+2х+3) = x^3/3 + 2x^2/2 + 3x+ C = x^3/3 + x^2 + 3x + C

    2. 1 - верхний предел, а 0 - нижний

    $$ \int\limits^1_0 {(x^2 - 2x + 1)} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1x = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1*1 = \frac{1}{3} $$

    3. Построим график функции y = 4х - х^2 (построить в интернете или на листке)

    Получилась парабола, которая пересекается с осью абсцисс(OX) в точках 0 и 4

    не сложно догадаться, что пределы интегрирования будут [0;4]. Эти числа будут пределами интегрирования. 0 - нижний предел, 4 - верхний

    $$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx = \frac{4x^2}{2} - {x^3}{3} = {4 * 4^2}{2} - \frac{4^3}{3} = {4 * 16}{2} - \frac{64}{3} = 10 \frac{2}{3} $$ $$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx $$ = 4x^2/2 - x^3/3 = (4 * 4^2/2) - (4^3/3) = (4 * 16/2) - (64/3) = 10 целых 2/3 ед^2 или 10.66667 ед^2

  • найти площадь фигуры ограниченной функциями у=х^2,y=2x. через интеграл нужно решить


    Решение: Построим график. Будет видно, что площадь надо искать на промежутке [0;2]. В данном случае 

    f(x) = 2x

    g(x) = x^2

    Площадь данной фигуры находим по формуле

    S = $$ \int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx $$

    Теперь подставляем и находим

    S = $$ \int\limits^2_0 {(2x - x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} = 2^2 - \frac{2^3}{3} = 4 - \frac{8}{3} = 1\frac{1}{3} $$ ед^2

  • Запишите интеграл, с помощью которого можно найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой АВ гиперболы у=6/(х-1)-1, если А(0,5), В(5,0)


    Решение: Рассмотрим точку В(5;0). При х=5 у=6/(5-1)-1=1,5-1=0,5. То есть криволинейная трапеция ограничена линиями х=0, y=5 (точка А), у=0,5 (точка В) и y=6/(x-1)-1.
    Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОY необходимо перейти к обратной функции, грубо говоря нужно выразить "икс" через "игрек":
    y=6/(x-1)-1=(6-(x-1))/(x-1)=(7-x)/(x-1)
    y(x-1)=7-x
    yx-y-7+x=0
    x(y+1)=7+y
    x=(7+y)/(y+1)=6/(y+1)+1
    Теперь подставляем в формулу объема для тела полученного вращением 
    $$ V= \pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx $$
    В данном случае 
    $$ V= \pi \int\limits^5_ \frac{1}{2} {( \frac{6}{y+1)}+1)^2 } \, dx $$

  • Площадь фигуры ограниченной линиями и интегралы
    1) y=x^2, y=0, x=2, x=3
    2) y=4-x^2. y=2+x
    3) y=4/x. y=5-x


    Решение: 1) ∫x²dx = x³/3 | в пределах от 2 до 3 = 3³/3 - 2³/3 =27/3 - 8/3 = 19/3
    2) сначала надо найти пределы интегрирования. Для этого решим: 
    4 - х² = 2 + х
    х² + х -2 = 0 
    По т. Виета х1 = -2 и х2 = 1. На чертеже парабола ветвями вниз и прямая, проходящая через общие с параболой точки (- 2; 0) и (1;3)
    Фигура состоит из треугольника, образованного прямой у = 2 +х и криволинейного треугольника Образованного параболой и осью х
    S фиг = S Δ + ∫ (4-x²) dx в пределах от 1 до 2 = 
    = 1/2*3*3 + (4х - х³/3) в пределах от 1 до 2=
    = 4,5 + (4*2 -2³/3 - 4*1 + 1/3) = 4,5 +12 - 7/3 = 16,5 -2 1/3= 14 1/6

  • Площадь фигуры D, ограниченной линиями и, определяется интегралом …


    Решение: Сначала определяются пределы интегрирования.
    Для этого находим точки пересечения графиков заданных функций:
    x²-2x+2 = -x² + 6
    2x² - 2x -4 = 0 сократим на 2:
    х² - х - 2 = 0.
    Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
    Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
    x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;
    x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
    Так как графики заданных функций - это параболы, у одной из которых ветви вниз ( это вторая - коэффициент перед х² отрицателен), то заданная площадь определяется вычитанием из верхней нижней:
    $$ \int\limits^2_{-1}( {-x^2+6-x^2+2x-2}) \, dx = \int\limits^2_{-1} {(-2x^2+2x+4)} \, dx $$

    Сначала определяются пределы интегрирования.Для этого находим точки пересечения графиков заданных функций x - x -x x - x - сократим на х - х - .Квадратное уравнение решаем от...
  • Решите определенный интеграл \( a) \; \int\limits_{-1}^2(x+3x^2+4x^3)dx\\ \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}(sinx+\frac{2}{cos^2x})dx \)
    2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой e=x^2 -x-6 и осью Ox


    Решение: 1.a)
    $$ \int\limits^{2}_{-1} {x+3 x^{2} +4x^{3}} \, dx = (\frac{1}{2}x^{2}+x^{3}+x^{4}) |=2+8+16-(\frac{1}{2}-1+1)= \\ =26-\frac{1}{2}=25\frac{1}{2} $$
    1. б)
    $$ =(-cosx+2tgx)|=-cos( \pi /3)+2tg( \pi /3)-cos0-2tg0= \ - \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} -1-0=2\sqrt{3}-1 \frac{1}{2} $$
    2.
    $$ \int\limits^{3}_{-2} {(x^{2} -x-6)} \, dx =( \frac{1}{3}x^{3}- \frac{1}{2} x^{2} -6x) |=9-4.5-18-( \frac{-8}{3}- 2+12 ) $$

    .a int limits - x x x dx frac x x x - frac - - frac frac . б -cosx tgx -cos pi tg pi -cos - tg - frac sqrt - - sqrt - frac . int limits - x -x- dx frac x - frac x - x - . - -...