ограниченный интеграл
1) Найти первообразные функции: f(х)=х2+2х+3.f(х)=х2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х2 и осью абцисс
Решение: 1)$$ \int{x^2+2x+3}\, dx=\frac{x^3}3+x^2+3x+C \\ </span>\int{x^2-6x+8}\, dx=\frac{x^3}3-3x^2+8x+C<span> $$
2)
$$ </span>\int\limits^1_0 {x^2-2x+1} \, dx=(\frac{x^3}3-x^2+x)|_0^1=\frac{1}3-1+1=\frac{1}3<span> $$
3)
$$ \int\limits^4_0 {4x-x^2} \, dx=(2x^2-\frac{x^3}3)|_0^4=32-\frac{64}3=\frac{32}3 $$
1, f(x)= x2+2x+3;
F(x)= x3/3 + x2 + 3x.
f(x)=x2 - 6x + 8
F(x)= x3/3 - 3x2 + 8x. (То как это сделать на словах не обяснить так как нужно знать таблицу первообразных)
2. Данный интеграл= x3/3 - x2 + x(дальше после этого всего нужно поставить линию ! вот как этот знак только длинее и без точки и с боку возле этой линии написать сверху "1" снизу "0")=(теперь это 1 и 0 подставляем вместо х вот что выходит) 1/3 - 1 + 1 - 0 + 0 - 0= 1/3
3. Тут нужно рисовать но для рисунка этой функции нужно найти точки вершины а находим их так. есть формула что Х верха равен минус b и делится на 2а где b в нашем случае 4, а=1 когда все подставить в формулу то Х вершины= 2. Чтоб найти У вершины просто Х вершины подставляем в функции и тогда У=4
Нужно найти нули функции
Саму функцию (4х-х2) равняете к нулю то есть пишете
4х-х2=0 и это нужно решить. Очень легко выносищь х за скобки и выходит
х(4-х)=0 тогда ответ х=0 и х=4. По этому всему рисуете примерный график.
с графика будет видно что у нас выходит интеграл от 0 и до 4 той функции что тебе данна теперь считаем
4S0(4x- x2)dx= 2x2 - x3/3(и опять та линия только теперь сверху 4 а снизу 0)=(снова подставляем это 4 и 0 только сначала берется 4) 32 - 64/3 -0 +0=32/3
вот и ответ
1) Найти первообразные функции: f(х)=х^2+2х+3.f(х)=х^2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х^2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х^2 и осью абцисс
Решение: 1. F(x) = F(х^2+2х+3) = x^3/3 + 2x^2/2 + 3x+ C = x^3/3 + x^2 + 3x + C2. 1 - верхний предел, а 0 - нижний
$$ \int\limits^1_0 {(x^2 - 2x + 1)} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1x = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1*1 = \frac{1}{3} $$
3. Построим график функции y = 4х - х^2 (построить в интернете или на листке)
Получилась парабола, которая пересекается с осью абсцисс(OX) в точках 0 и 4
не сложно догадаться, что пределы интегрирования будут [0;4]. Эти числа будут пределами интегрирования. 0 - нижний предел, 4 - верхний
$$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx = \frac{4x^2}{2} - {x^3}{3} = {4 * 4^2}{2} - \frac{4^3}{3} = {4 * 16}{2} - \frac{64}{3} = 10 \frac{2}{3} $$ $$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx $$ = 4x^2/2 - x^3/3 = (4 * 4^2/2) - (4^3/3) = (4 * 16/2) - (64/3) = 10 целых 2/3 ед^2 или 10.66667 ед^2
найти площадь фигуры ограниченной функциями у=х^2,y=2x. через интеграл нужно решить
Решение: Построим график. Будет видно, что площадь надо искать на промежутке [0;2]. В данном случаеf(x) = 2x
g(x) = x^2
Площадь данной фигуры находим по формуле
S = $$ \int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx $$
Теперь подставляем и находим
S = $$ \int\limits^2_0 {(2x - x^2)} \, dx = \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} = 2^2 - \frac{2^3}{3} = 4 - \frac{8}{3} = 1\frac{1}{3} $$ ед^2
Запишите интеграл, с помощью которого можно найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой АВ гиперболы у=6/(х-1)-1, если А(0,5), В(5,0)
Решение: Рассмотрим точку В(5;0). При х=5 у=6/(5-1)-1=1,5-1=0,5. То есть криволинейная трапеция ограничена линиями х=0, y=5 (точка А), у=0,5 (точка В) и y=6/(x-1)-1.
Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОY необходимо перейти к обратной функции, грубо говоря нужно выразить "икс" через "игрек":
y=6/(x-1)-1=(6-(x-1))/(x-1)=(7-x)/(x-1)
y(x-1)=7-x
yx-y-7+x=0
x(y+1)=7+y
x=(7+y)/(y+1)=6/(y+1)+1
Теперь подставляем в формулу объема для тела полученного вращением
$$ V= \pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx $$
В данном случае
$$ V= \pi \int\limits^5_ \frac{1}{2} {( \frac{6}{y+1)}+1)^2 } \, dx $$
Площадь фигуры ограниченной линиями и интегралы
1) y=x^2, y=0, x=2, x=3
2) y=4-x^2. y=2+x
3) y=4/x. y=5-x
Решение: 1) ∫x²dx = x³/3 | в пределах от 2 до 3 = 3³/3 - 2³/3 =27/3 - 8/3 = 19/3
2) сначала надо найти пределы интегрирования. Для этого решим:
4 - х² = 2 + х
х² + х -2 = 0
По т. Виета х1 = -2 и х2 = 1. На чертеже парабола ветвями вниз и прямая, проходящая через общие с параболой точки (- 2; 0) и (1;3)
Фигура состоит из треугольника, образованного прямой у = 2 +х и криволинейного треугольника Образованного параболой и осью х
S фиг = S Δ + ∫ (4-x²) dx в пределах от 1 до 2 =
= 1/2*3*3 + (4х - х³/3) в пределах от 1 до 2=
= 4,5 + (4*2 -2³/3 - 4*1 + 1/3) = 4,5 +12 - 7/3 = 16,5 -2 1/3= 14 1/6
Площадь фигуры D, ограниченной линиями и, определяется интегралом …
Решение: Сначала определяются пределы интегрирования.
Для этого находим точки пересечения графиков заданных функций:
x²-2x+2 = -x² + 6
2x² - 2x -4 = 0 сократим на 2:
х² - х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;
x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Так как графики заданных функций - это параболы, у одной из которых ветви вниз ( это вторая - коэффициент перед х² отрицателен), то заданная площадь определяется вычитанием из верхней нижней:
$$ \int\limits^2_{-1}( {-x^2+6-x^2+2x-2}) \, dx = \int\limits^2_{-1} {(-2x^2+2x+4)} \, dx $$
Решите определенный интеграл \( a) \; \int\limits_{-1}^2(x+3x^2+4x^3)dx\\ \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}(sinx+\frac{2}{cos^2x})dx \)
2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой e=x^2 -x-6 и осью Ox
Решение: 1.a)
$$ \int\limits^{2}_{-1} {x+3 x^{2} +4x^{3}} \, dx = (\frac{1}{2}x^{2}+x^{3}+x^{4}) |=2+8+16-(\frac{1}{2}-1+1)= \\ =26-\frac{1}{2}=25\frac{1}{2} $$
1. б)
$$ =(-cosx+2tgx)|=-cos( \pi /3)+2tg( \pi /3)-cos0-2tg0= \ - \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} -1-0=2\sqrt{3}-1 \frac{1}{2} $$
2.
$$ \int\limits^{3}_{-2} {(x^{2} -x-6)} \, dx =( \frac{1}{3}x^{3}- \frac{1}{2} x^{2} -6x) |=9-4.5-18-( \frac{-8}{3}- 2+12 ) $$
