интеграл » интеграл по частям
  • Найти интеграл \( \int\limits^{3}_{0} ln(x + 3) \ dx \) интегрирование по частям


    Решение: dx=dv  ln(x+3)=u  v=x  du=1/(x+3)*dx

    uv-интеграл(v*du)=xln(x+3)-инт(0,3)(x/(x+3)*dx) = xln(x+3)-инт((x+3-3)/(x+3)) = xln(x+3)-инт(1-3/(x+3)) = xln(x+3)-x+ln(x+3) = 3ln6-6+ln6-ln3 = 7ln6+ln3-6

    $$ \int\limits^{3}_{0} ln(x + 3) \ dx = F(3) - F(0) \\ [ \ \int ln(x + 3) \ dx = xln(x + 3) - \int \frac{x}{x+3} \ dx =\\\\ xln(x + 3) - \int \frac{x + 3 - 3}{x+3} \ dx = xln(x + 3) - \int 1 - \frac{3}{x+3} \ dx =\\\\ xln(x + 3) - x + 3ln(x + 3) + C = (x+3)ln(x + 3) - x + C\ ] \\ F(3) - F(0) = (x+3)ln(x + 3) - x | \int\limits^{3}_{0}= 6ln6 - 3 -3ln3 =\\\\ 3(2ln6 - ln3) - 3 = 3(ln6^2 - ln3) - 3 =3ln12 - 3 = 3(ln12 - 1) $$

  • (37) Определенный интеграл. Интегрирование по частям \( \int \limits_{0}^{ \pi /4 }(x- \pi )cos2xdx \)


    Решение: $$ \mathfrak{I} =\int (x- \pi )cos2xdx= \frac{1}{2} \int (x- \pi )d(sin2x)=\\ \\ \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xd(x- \pi )= \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xdx= \\ \\ = \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x+C. \\ \\ \int \limits_{0}^{ \pi /4 }(x- \pi )cos2xdx=(\frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x)\Bigr|_0^{\pi/4}= \\ =(\frac{1}{2}(\frac{ \pi }{4}- \pi )sin(2*\frac{ \pi }{4})+\frac{1}{4} cos(2*\frac{ \pi }{4}))-(\frac{1}{2}(0- \pi )sin0+\frac{1}{4} cos0)= \\ \\ =-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4} $$
    При вычислении площади фигуры используют абсолютную величину данного значения, т. е. число $$ |-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4}|=\frac{ 3\pi }{8}+\frac{ 1 }{4} $$

    mathfrak I int x- pi cos xdx frac int x- pi d sin x frac x- pi sin x- frac int sin xd x- pi frac x- pi sin x- frac int sin xdx frac x- pi sin x frac cos x C. int limits pi x-...
  • ∫(ln^5*x)/x

    ∫(tgx)/(cos^2*x) и это все dx

    ∫e^x*xdx
    Решите интегралы подстановкой или по частям


    Решение: 1) тот x который в знаменателе, его производная ф-ции натуральный логарифм,  ее вносим под знак дифференциала.

    $$ \int\frac{ln^{5}x}{x}\, dx = \int(\frac{1}{x}ln^{5}x)dx = \int(\ln^{5}x)d(lnx) = \frac{ln^{6}x}{6} + C $$

    2) tgx = Sinx/Cosx сокращаем cosx и получаем

    $$ \int(\frac{tgx}{cos^{2}x})dx = \int(\frac{sinx*cos^{2}x}{cosx})dx = \int(sinx*cosx)dx = -\int(cosx)d(cosx) = -sinx + C $$

    3) интегрирование по частям

    $$ \int\ e^{x}xdx = [ u = x; du = dx; dv = e^{x}; v = e^{x} ] => xe^{x} - \int\ e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C $$