тождество тригонометрическое

cos2x+3cosx-1=0 sin в 4 степени х+cos в 4 степени х+cos 2х=0,5 cos(1.5Пи+2х)-cos х=0

Есть такая формула: cos2x = 2cos^2(x) - 1 Подставляем вместо cos2x

2cos^2(x) + 3cosx - 1 = 0

cosx обозн. t принадлежит [-1;1]

2t^2 + 3t - 1 = 0

D = 9 - 8 = 1

t = (-3+-1)/4 = -1 или -1/2

Подставляем вместо t cosx

cosx = -1 x = Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

cosx = -1/2 x = +-2пи/3 + 2пи*k, k принадлежит Z

Ответ: +-2пи/3 + 2пи*k; Пи + 2пи*k, k принадлежит Z

2. sin^4(x) + cos^4(x) + cos2x = 0,5

Попробуем найти sin^4(x) + cos^4(x) из основного тригонометрического тождества:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Возведем в квадрат:

sin^4(x) + 2sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = 1

sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)

к 2sin^2(x)cos^2(x) домножим 2 и поделим на два, получится 4sin^2(x)cos^2(x)/2 = sin^2(2x)/2

Значит: sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - sin^2(2x)/2

Подставляем в началное уравнение:

1 - sin^2(2x)/2 + cos2x = 0,5

Домножим на 2

2 - sin^2(2x) + 2cos2x = 1

sin^2(2x) = 1-cos^2(2x) (опять же, основное тригонометрическое тождество)

Подставляем:

-(1-cos^2(2x)) + 2cos2x + 2 - 1 = 0

cos^2(2x) + 2cos2x=0

cos2x(cos2x + 2) = 0

cos2x = 0 2x = пи/2 + пи*k x = пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

cos2x +2 = 0 cos2x = -2 не уд. (cos2x принадлежит [-1;1]

Ответ: пи/4 + пи*k/2; k принадлежит Z

3. cos(3пи/2 + 2x) - cosx = 0

Воспользуемся формулами приведения

cos(3пи/2 + 2x) = sin2x - подставляем в основное уравнение

sin2x - cosx = 0

2sinxcosx - cosx = 0

cosx(2sinx - 1) = 0

cosx = 0 x = пи/2 + пи*k, k принадлежит Z

2sinx - 1 = 0 sinx = 1/2 x = (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z

Ответ: пи/2 + пи*k, (-1)^n *(пи/6) + пи*k, k принадлежит Z

Решение двух уравнений на тригонометрические тождества и формулы сложения. \( \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \)

$$ \sqrt{2} \cos( \frac{ \pi }{4} +x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}( \cos \frac{ \pi }{4} \cos x - \sin \frac{ \pi }{4} \sin x)-\cos x=1 \\\ \sqrt{2}(\frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x)-\cos x=1 \\\ \cos x - \sin x-\cos x=1 \\\ \sin x=-1 \\\ x=- \frac{ \pi }{2}+2 \pi n, n\in Z $$
Ответ: \( - \frac{ \pi }{2}+2 \pi n \), где n - целые числа
$$ \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4}- \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\sin \frac{ \pi }{4}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{ \pi }{4}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \sqrt{2} (\frac{ \sqrt{2} }{2}\cos \frac{x}{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \frac{x}{2})+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} =1 \\\ \cos \frac{x}{2} =1 \\\ \frac{x}{2} =2 \pi n \\\ x=4 \pi n,n\in Z $$
Ответ: \(4 \pi n\), где n - целые числа

Докажите тождество ( используя тригонометрические формулы): \(1 - cos\alpha - sin\alpha = 2\sqrt2 sin\frac{\alpha}{2}sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4})\)

Обратные тригонометрические функции

arcsin(cos пи/3)=

Значение тригонометрических функций

tg 5пи / 6 =

ctg ( - 13/6 пи)=

Докажите тождество

sin^4 альфа - cos^4 альфа=-cos 2альфа

используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество:

$$ sin^4 \alpha-cos^4 \alpha=-(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)*(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=\\=-cos(2 \alpha)*1=-cos (2\alpha) $$ доказано

2) Упростить выражение: sin2 α(1 + ctgα) + cos2α(1 + tg2)

3) По заданному значению функции найдите значение остальных тригонометрических функций:

cost = - 24/25, n

4) Вычислите с помощью формул приведения:

sin 3900 sin 1500 + cos 2100 cos 1500 + tg 2400 tg 2100

1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a

5) Докажите тождество:

1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a

3. sint = корень(1-cos^t), ответ получите плюс-минус. Выберите тот, которые соответствует π

4. 3900 = 180*21 + 120 = 21π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

1500 = 180*8 + 60 = 8π + π/3 = π/3

2100 = 180*11 + 120 = 11π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

2400 = 180*13 + 60 = 13π + π/3 = π + π/3

Дальше всё просто по формулам приведения.

5. В левой части запишите tg и ctg через sin и cos. Приведите сначала числитель исходного выражения к общему знаменателю, затем знаменатель. Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь. Там всё сократится, останется лите sin^2 a/cos^2 a = tg^2 a.

1) Вычислить:

sin 13 градусов * на cos17 градусов + sin 17 градусов * на cos 13 градусов

2)Найти неизвестные тригонометрические функции:

cos2 = одна пятая

3)Доказать тождество:

tg + ctg = дробью,2 делённое на sin2

3)Упростить:

sin (40 градусов + ) + sin (40 градусов - )

5)Упростить:

cos 8 градусов * на cos 37 градусов + cos 82 градусов * на cos 53 градусов

  что и требовалось доказать

4) Упростить:

  sin 40°+sin(-40°)=sin40°-sin40°=0
5)cos8°cos37°+cos82°cos53°=1/2[cos(37°-8°)+cos(37°+8°)]+1/2[cos(82°-53°)+cos(82+53°)]=
=1/2(cos29°+cos45°)+1/2(cos29°+cos135°)=1/2( cos29°+cos45°+cos29°+cos135°)=
= cos29°+1/2cos45°+1/2cos(90°+45°)=0.87+√2/4-√2/4≈0.87

Нужно доказать тригонометрическое тождество: 1+ctg a\1+tg a=ctg a

$$ \frac{1+ctga}{1+tga} = \frac{1+ \frac{cosx}{sina} }{1+ \frac{sina}{cosa} } = \frac{ \frac{cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa }{sina} }{ \frac{cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina }{cosa} } = \frac{(cos ^{2}x+sin ^{3} +cosa)*cosa}{(cos ^{3}x+sin ^{2} a+sina)*sina} =ctga $$

Доказать тригонометрическое тождество
\( cos(\frac{\pi}{7})*cos(\frac{4\pi}{7})*cos(\frac{5\pi}{7})=\frac{1}{8} \)

Докажите тригонометрическое тождество (sin 2α + sin 4α)² + (cos 2α + cos 4α)² = 4 cos² α

Докажите тригонометрическое тождество \( \frac{sin^2(\frac{3\pi}{2}+ \alpha )}{ctg^2( \alpha -2\pi )}+\frac{sin^2(- \alpha )}{ctg^2( \alpha -\frac{3\pi}{2})}=1 \)