тождество »

тождественно равные выражения

  • Решите уравнения:a) (16-3x)-(6x+4)=13-(9+5x)
    б) 1 целая 2/3x -(1,5x-2)=2,6
    Из данных многочленов выберите многочлен,тождественно равный выражению -0,4xy²(-14xy+8x²y-10xy²)
    1)5,6x²y³ + 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)
    2)-5,6x²y³ + 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)
    3)5,6x²y³ - 3,2x³y³ +4x²y(4-ая степень)
    4)5,6x²y³ - 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)


    Решение: 1. (16-3x)-(6x+4)=13-(9+5x)

    16-3x-6x-4=13-9-5x

    12-9x=4-5x

    -9x+5x=4-12

    -4x=-8

    x=2

    2. Про многочлены: третье решение

    A) 16-3х-6х+4=13-9-5х   5/3х-3/2х+2=2,6 
      -3х-6х+5х=4-16-4 10/6х-9/6х=0,6
      -4х=-16 1/6х=0,6
      x = 4 х=6/10:1/6=36/10=3,6
      б) х = 3,6 

  • 1. выполните умножение
    (2x-3)(-2x+2)
    2. Представьте в виде многочлена
    (2a-1)(-a в квадрате + a-3)
    3. решите уравнение
    16x в квадрате -(4x-1)(4x-3)=13
    4. какое из следующих выражений тождественно равно произведению: (4p-q) (5p-2q)
    a) (2q-5p)(q-4p)
    b) -(q-4p)(2q-5p)
    c) (4p-q)(2q-5p)
    d) (5p-2q)(q-4p)
    5. докажите что при любом натуральном n значение выражения
    n(n+14)-(n-6)(n+4) делится на 8
    решение обязательно


    Решение: 1) -4х^2+4х+6х-6
    -4х^2+10х-6
    3)16х^2-16х^2+12х+4х-3-13=0
    16х-16=0
    16х=16
    х=1

    1)
    $$ (2x-3)(-2x+2)=(2x-3)(2-2x)=\\ =2x\cdot2+2x\cdot(-2x)-3\cdot2-3\cdot(-2x)=\\ =4x-4x^2-6+6x=-4x^2+10x-6 $$
    2)
    $$ (2a-1)(-a^2+a-3)=\\ =2a\cdot(-a^2)+2a\cdot a+2a\cdot3-1\cdot(-a^2)-1\cdot a-1\cdot(-3)=\\ =-2a^3+4a^2-6a+a^2-a+3=\\ =-2a^3+5a^2-7a+3 $$
    3)
    $$ 16x^2-(4x-1)(4x-3)=13\\ 16x^2-4x\cdot4x-4x\cdot(-3)-(-1)\cdot4x-(-1)\cdot(-3)=13;\\ 16x^2-16x^2+12x+4x-3=13;\\ 16x=16;\\ x=1 $$
    4)
    $$ (4p-q)(5p-2q)=4p\cdot5p+4p\cdot(-2q)-q\cdot5p-q\cdot(-2q)=\\ =(-4p)\cdot(-5p)+(-4p)\cdot2q+q\cdot(-5p)+q\cdot2q=\\ =(2q-5p)(q-4p) $$
    правильный ответ а)
    5)
    $$ \forall n,\ n\in N \ \ \ \left(n(n+14)-(n-6)(n+4)\right)\div8\\ n(n+14)-(n-6)(n+4)=\\ =n\cdot n+14\cdot n-n\cdot n-n\cdot4-(-6)\cdot n-(-6)\cdot4=\\ =n^2+14n-n^2-4n+6n-24=\\ =16n-24=8(2n-3) $$
    поскольку можно выдлить 8, о данное выражение при любом целом значении n делиться на 8

  • 1. Упростите выражение:
    1) а) (7e - 3) + (7- e); б) (9f + 12) - (9- 5f);
    2) а) (5q2 - 3) + (3- 3q - q2); б) (12- 16r2) - (r3- r2 + 6).
    2. Представьте в виде многочлена:
    1) а) 5a2(5a - 14); б) - 0,6b(7- 4b); в) 2p(p2 - p + 2);
    2) а) (q + 7)(q - 8); б) (8b - 2)(7b + 3); в) (p - 5)(p2 - 4p - 2).
    3. Упростите выражение:
    1) а) 5(7u - 3) + 9(5- 7u); б) 7v(v2 - 7v) - 7v(v2 - 7v);
    2) а) (8g - 1)(5g + 14) - 40g2; б) 63h3- (9h2 - 2)(7h - 5).
    4. Представьте в виде многочлена:
    1) а) (d - 8)(d + 8); б) (5+ e)(e - 5); в) (6f8 - 3)(3+ 6f8);
    2) а) (t + 5)2; б) (g - 8)2; в) (4g2 - 5)2; г) (6+ 9h7)2;
    3) а) (t + 6)(t2 - 6t + 36); б) (d - 5)(d2 + 5d + 25).
    ________________________________________
    5. Докажите, что выражение (x - 5)(x + 8) - 3(x - 14) при любом значении x принимает положительное значение.
    6. Докажите, что при любом целом y значение выражения 22y + (y - 11)2 - y(y - 22) кратно 11.
    7. При каком значении d многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (s2 + 4s - 3)(s - d), не содержит s2?


    Решение: 1) а) (7e - 3) + (7- e)=7e-3+7-e=6e+4
     б) (9f + 12) - (9- 5f)=9f+12-9+5f=14f+3
    2) а) (5q2 - 3) + (3- 3q - q2)=5q2-3+3-3q-2q=5q2-6q=q(5q-6)
    б) (12- 16r2) - (r3- r2 + 6)=12-16r2-r3+r2-6=-15r2-r3+6=-r3-15r2+6
    1) а) 5a2(5a - 14)=25a3-60a2
     б) - 0,6b(7- 4b)=-4,2+2,4b2=2,4b2-4,2
     в) 2p(p2 - p + 2)=2p3-2p2+4p
    2) а) (q + 7)(q - 8)=q2-8q+7q-56=q2-q-56
     б) (8b - 2)(7b + 3)=56b2+24b-14b-6=56b2+10b-6
     в) (p - 5)(p2 - 4p - 2)=p3-4p2-2p-5p2+20p+10=p3-9p2+18p+10
    1) а) 5(7u - 3) + 9(5- 7u)=35u-15+45-63u=30-28u
     б) 7v(v2 - 7v) - 7v(v2 - 7v)=7v3-49v2-7v3+49v2=0
    2) а) (8g - 1)(5g + 14) - 40g2=40g2+112g-5g-14=40g2+107g-14
     б) 63h3- (9h2 - 2)(7h - 5)=63h3-(63h3-45h2-14h+10)=63h3-63h3+45h2+14h-10=45h2+14h-10
    1) а) (d - 8)(d + 8)=d2+8d-8d-64=d2-64
     б) (5+ e)(e - 5)=5e-25+e2-5e=e2-25
     в) (6f8 - 3)(3+ 6f8)=18f8+36f16-9-18f8=36f16-9
    2) а) (t + 5)2=2t+10
    б) (g - 8)2=2g-16
     в) (4g2 - 5)2=8g2-10
    г) (6+ 9h7)2=12+18h7
    3) а) (t + 6)(t2 - 6t + 36)=t3-6t2+36t+6t2-36t+216=t3+216
     б) (d - 5)(d2 + 5d + 25)=d3+5d2+25d-5d2-25d-125=d3-125
    (x - 5)(x + 8) - 3(x - 14)=x2+8x-5x-40-3x+42=x2+2
    22y + (y - 11)2 - y(y - 22)=22y+2y-22-y2+22y=-y2+46y-22=(-11)2+46×11-22=121+506-22=627-22=605
    (s2 + 4s - 3)(s - d)=s3-ds2+4s2-4ds-3s+3d=s3+4s2-ds2-4ds-3s+3d

  • Выберите тождественно равные выражения. запишите их в виде тождества. 1)(а-а)×b и 0 2) (x+y)×0 и x+y; 3) 5,1x7 и 35,7x 4) a-b и b- a 5) x-y и (y-x)(-1) 6) 7(a-b) и 7а-7b


    Решение: Классическое определение гласит, что “два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными, а тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных”. Исходя из этого определения, в приведенных выражениях определены такие тождества:
    1) (а - а) × b = 0 — тождество, т. к. (а-а) при любых значениях равно нулю, а любое число, умноженное на ноль, всегда даёт ноль;
    2) (x + y) × 0 и x + y — выражения не тождественно равны, т. к. любое число, умноженное на ноль, всегда даёт ноль, а x + y может отличаться от нуля;
    3) 5,1x7 = 35,7x — тождество, т. к. (5,1×7= 35,7) при любых значениях х;
    4) a - b и b - a — выражения не тождественно равны, т. к. a в общем случае не равно b;
    5) x - y = (y - x)(-1) — тождество, т. к. (y - x)(-1) после раскрытия скобок преобразуется в x - y;
    6) 7(a - b) = 7а - 7b — тождество, т. к. 7а - 7b после вынесения за скобки общего множителя преобразуется в 7(a - b).

  • Выберите тождественно равные выражения и составьте тождество:
    1)ab+3c
    2)a-b-c
    3)8(a+b-c)
    4)1/4a*4/5b*5/6c
    5)-1(b+c-a)
    6)3c+ab
    7)8a+8b-8c
    8)1/6abc


    Решение: В приведенных выражениях найдены такие тождества:
    1) ab + 3c = 6) 3c + ab ( перестановка слагаемых);
    2) a - b - c = 5) -1(b + c - a) = a - b - c (после раскрытия скобок);
    3) 8(a + b - c) = 7) 8a + 8b - 8c = 8(a + b - c) (после вынесения за скобки общего множителя);
    4) 1/4a * 4/5b * 5/6c = 8) 1/6 * a * b * c (после сокращения дробей).

    1) ab+3c=3c+ab,
    3с+ab=3c+ab (3c+ab- ab-3c=0)
    2) a-b-c=-1(b+c-a)
       a-b-c= -1*b-1*c+1*a
       a-b-c=-b-c+a
       a-b-c= a-b-c (a-b-c –a+b+c=0)
    3) 8(a+b-c)= 8a+8b-8c
       8a+8b-8c=8a+8b-8c (8a+8b-8c-8a-8b+8c=0)
    4)  1/4a*4/5b*5/6c=1/6abc
    (1*4*5)/(4a*5b*6c)=1/6abc
    20/120abc=1/6abc
    1/6abc=1/6abc (1/6abc-1/6abc=0)

  • Докажите, что при всех допустимых значениях а выражение тождественно равно нулю. \( \frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}=0 \)


    Решение: $$ \frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}=\\=\frac{2a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}+\frac{a}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}=\\\ =\frac{2a+1+a(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2a+1+a^2-a-a^2-a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\=\frac{0}{(a-1)(a^2+a+1)}=0 $$

    frac a a - frac a a a frac -a frac a a- a a frac a a a - frac a- frac a a a- - a a a- a a frac a a -a-a -a- a- a a frac a- a a...

  • Решите уравнения:
    a) (16-3x)-(6x+4)=13-(9+5x)
    б) 1 целая 2/3x -(1,5x-2)=2,6
    Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению -0,4xy²(-14xy+8x²y-10xy²)
    1)5,6x²y³ + 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)
    2)-5,6x²y³ + 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)
    3)5,6x²y³ - 3,2x³y³ +4x²y(4-ая степень)
    4)5,6x²y³ - 3,2x³y³ -4x²y(4-ая степень)


    Решение: 1. (16-3x)-(6x+4)=13-(9+5x)

    16-3x-6x-4=13-9-5x

    12-9x=4-5x

    -9x+5x=4-12

    -4x=-8

    x=2

    2. Про многочлены: третье решение

    A) 16-3х-6х+4=13-9-5х 5/3х-3/2х+2=2,6 
      -3х-6х+5х=4-16-4 10/6х-9/6х=0,6
      -4х=-16 1/6х=0,6
      x = 4 х=6/10:1/6=36/10=3,6
      б) х = 3,6 

  • 1) Какой из многочленов тождественно равен выражению (x-y)(y+z)-(x+y)(y-z)
    a)-xz-2yz
    b)2x-y^2
    c)2xz-y^2
    d)2xz-2y^2
    2) Разложите на множители многочлен:
    0,25a^2-0,5ab+0,2b^2
    3) Уравнение:
    x(x-1)/(x-1)(x-2)=0
    "/"-дробная черта.
    4) Система неравенств
    x-2<3x+10
    2x-6<0


    Решение: 1.
     (x-y)(y+z)-(x+y)(y-z)= ху+xz-y2-yz-xy+xz-y2+yz = 2xz-2y2 ответ d.
    2.
    0,25a^2-0,5ab+0,25b^2 = (0,5а-0.5b)^2
    3.
    х(х-1) / (х-1)(х-2)=0 х≠1, х≠2
    х=0 - ответ
    4.
    система: система: система:
    x-2<3x+10 -2х<12 x>-6
    2x-6<0 2x<6 x<3
      //////////////////////////////////////
    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
    -o-o-> x
      -6 3
    Ответ: х∈(-6; 3)

  • 1. выполните вычитание дробей: 2х-1/3 - x+2/6
    2. после упращения выражения 3х+2/5x-5x+3y/10xy-y-1/2y кокой примет вид?
    3. выполните сложение дробей:4a/3a-6+3a/8-4a
    4. выражение 3а-12a^2/4a-1 тождественно равно:


    Решение: 1. выполните вычитание дробей: 2х-1/3 - x+2/6
    (2x-1)/3-(x+3)/6=(4x-2-x-3)/6=(3x-5)/6
    2. после упращения выражения   3х+2/5x-5x+3y/10xy-y-1/2y  кокой примет вид?
    (3x+2)/5x-(5x+3y)/10xy-(y-1)/2y=(3x+2)*2y/5x*2y-(5x+3y)/10xy-(y-1)*5x/2y*5x=(6xy+4y-5x-3y-5xy+5x)/10xy=(xy-y)/10xy=(x-1)/10x
    3. выполните сложение дробей:4a/3a-6+3a/8-4a
    4a/3(a-2)+3a/4(2-a)=4a/3(a-2)-3a/4(a-2)=(16a-9a)/12(a-2)=7a/(a-2)
    4. выражение 3а-12a^2/4a-1 тождественно равно:
    3a(1-4a)/(4a-1)=-3a