при каких значениях
При каких значениях параметра a многочлен (a²-4)x⁴-2x³+(2a-1)x-4 будет:
а) приведенным многочленом
б) многочленом четвертой степени
в) многочленом третьей степени
г) принимать одинаковые значения в точке x=1 и x=-1
Решение: $$ p(x)=(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4 $$
а) многочлен является приведенным, если его старший коэффициент равен единице:
$$ a^2-4=1 \\ a^2=5 \\ a=\pm \sqrt5 $$
б) данный многочлен будет многочленом четвертой степени, если коэффициент при х⁴ не будет нулевым:
$$ a^2-4 = 0 \\\ a^2 = 4 \\\ a = \pm2 $$
в) коэффициент при х³ не равен нулю, поэтому данный многочлен будет многочленом третьей степени, если коэффициент при х⁴ будет равен нулю:
$$ a^2-4=0 \\\ a^2=4 \\\ a=\pm2 $$
г) найдем значения многочлена в точке х=1 и х=-1 и приравняем их:
$$ (a^2-4)\cdot1^4-2\cdot1^3+(2a-1)\cdot1-4= \\\ =(a^2-4)\cdot(-1)^4-2\cdot(-1)^3+(2a-1)\cdot(-1)-4 \\\ (a^2-4)-2+(2a-1)-4=(a^2-4)+2-(2a-1)-4 \\\ -2+2a-1=2-2a+1 \\\ 4a=6 \\\ a=1.5 $$
При каких значениях a многочлен F(x)=2x^4+ax^3-9x^2+23x-20 можно разделить на многочлен G(x)=x^2+3x-a ? Желательно при решении воспользоваться теоремой Безу.
Решение: Согласно теореме Безу остаток от деления полинома на двучлен равен значению полинома в корне этого двучлена, в данной задаче на полином G(x) никаких дополнительных условий не наложено, значит он может быть неприводимым над полем вещественных чисел, однако все равно раскладываться в произведение двучленов вида $$ G(x)=(x-z)(x-\frac{ }{z}) $$Где \(\frac{ }{z}\) комплексно сопряжен z.
Полином G(x) примет вид $$ G(x)=x^2+2Re(z)x+|z| $$
Re(z)-вещественная часть z,$$ |z|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{|9+4a|}{4}} $$-модуль числа z.
Очевидно, что подставляя получившиеся корни в исходный многочлен используя теорему Безу вычисление получается мягко говоря неудобным.
Аналогичная ситуация со схемой Горнера.
А вот при делении полиномов столбиком исходный многочлен представим в виде:
$$ F(x)=G(x)(2x^2+(a-6)x-(a-3))+(-a-3)x^2+(a^2-6a+23)x-20 $$
Очевидно, что степень остатка должна быть меньше степени делителя и мы можем остаток разделить на полином G(x), домноженный на (-a-3), тогда для того чтобы остаток от деления был равен нулю, то есть чтобы F(x) делился на G(x) должна выполняться система:
$$ \left \{ {{a^2-6a+23=-3a-9} \atop {a^2+3a=-20}} \right. $$
Которая не имеет решений ни в поле действительных, ни в поле комплексных чисел.
Значит ни при каких значениях a полином G(x) не является делителем F(x).
При каких значениях параметра a многочлен f(x)=(x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) имеет кратные корни. Найди эти к-ни
Решение: Корни кратные тогда и только тогда когда производные каждого многочлена то есть первая, вторая, третяя. будут равны 0
$$ f(x)=(x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) \\ f’(x)=5x^4+12x^3-16ax^3+9a^2*x^2-36ax^2-48x^2+18a^2x+128ax-96x-48a^2+192\\ \\. f’’’’(x)=120x-96a+72=0\\ x=\frac{96a-72}{120}\\ $$
ставим в начальное функцию и решим уравнение
$$ (x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) =0\\\\ $$
получим
$$ a=-\frac{17}{4}\\ a=-3\\ a=-\frac{3}{11}\\ a=\frac{23}{4} $$
Сколько отрицательных корней имеет уравнение?
А)(x+3)^2
Б) х^2-5х+1=0
При каких значениях х значения многочленов 7х^2-3х+8 и 2х^2-13х+6 равны
Решение: Решение на фото ниже
А)(x+3)²=0
x+3=0
x=-3
Один корень
б)x²-5x+1=0
D=25-4=21
x1=(5-√21)/2<0
x2=(5+√21)/2>0
один отр корень
3)7x²-3x+8=2x²-13x+6
7x²-3x+8-2x²+13x-6=0
5x²+10x+2=0
D=100-40=60
x1=(-10-2√15)/10=-1-0,2√15
x2=-1+0,2√15
Приведите многочлен к стандартному виду и найдите, при каких значениях а его значение будет равно 2:
1) 3a^2 - 2a - a^2 - 7 + 3a - a^2 + 12 - a^2
2) 3y^2 - 0,3у^3 - y^2 + y + 0,7y^3 - 2y^2 + 1,07 - 0,4y^3
Решение: 1) Решение:Упростим выражение, выполнив действия с подобными:
0+а+5 = а+5
Решим уравнение:
а+5=2
а=2-5
а=-3
Ответ: -3.
2) Решение:
Упростим выражение, выполнив действия с подобными:
0+0+у+0,7=у+0,7
Решим уравнение:
у+0,7=2
у=2-0,7
у=1,3
Ответ: 1,3
