Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями сначала их нужно привести к общему знаменателю и только потом выполнять сложение или вычитание числителей

Нужно обе дроби привести к одинаковому знаменателю. Для этого нужно подобрать число, наименьший общий множитель, и разделить это число на знаменатель данных дробей. Полученное число нужно написать у дроби (у числителя) как дополнительный множитель.

Потом перемножить, записать под общей чертой и выполнить сложение/деление.

Пример: 7/8 + 3/4/
без остатка наименьшим общим множителем будет 8 (т.к. и 8 и 4 будут делителями восьми)
теперь запишем дополнительные множители для каждой дроби:
для 7/8 это будет 1 (т.к. 8:8=1), для второй - 2 (т.к. 8:4=2)
теперь
(7*1)/8 + (3*2)/8 = (7+12)/8 = 19/8 = 2

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю. Например, нам необходимо вычислить эту сумму:

$$ \frac{3}{4} + \frac{5}{8} $$

Чтобы привести знаменатель к одинаковому числу необходимо вычислить наименьшее НОК (наименьшее общее кратное) чисел в знаменателе. В нашем случае это числа 4 и 8 и их общий знаменатель будет 8. Однако, к числителю нужно подставить множитель, равный отношению НОК и данного знаменателя. В нашем случае, чтобы знаменатель из 4 стал 8, нужно числитель умножить на 2 (8:4). А к числителю восьмерки нужно умножить 1 (8:8), и выглядеть это будет так:

$$ \frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{3*2}{8} + \frac{5*1}{8} = \frac{6+5}{8} = \frac{11}{8} =1 \frac{3}{8} $$

Бывают и такие случаи:

$$ \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2*5}{15} - \frac{1*3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15} $$

Самое главное при ответе не забывать сокращать числитель и знаменатель и выносить целые числа.

Пример 2:  $$ \frac{3}{4} - \frac{4}{3} $$

Общий знаменатель для 4 и 3 будет 12, следовательно в первой дроби числитель надо домножить на 3, а вторую дробь домножить на 4 и тогда получим:

$$ \frac{3\cdot 4}{12} - \frac{4\cdot 3}{12} = \frac{12}{12} - \frac{12}{12} = 0 $$

Напомним, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо, сложив их числители, записать в числителе, а знаменатель оставить без изменения.

$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\\ \frac{2}{7}+\frac{4}{7}=\frac{6}{7} $$

Сложение дробей с разными знаменателями надо выполнить в следующем порядке:

  1. Находятся наименьший общий знаменатель и записывается в знаменателе
  2. Находятся дополнительные множители слагаемых
  3. Находится сумма произведений дополнительного множителя на соответствующий числитель дроби и записывается в числителе
$$ \frac{x}{12a^2bc}+\frac{y}{9ab^3c^4}=\frac{3b^2c^3x}{36a^2b^3c^4}+\frac{4ay}{36a^2b^3c^4}=\\=\frac{3b^2c^3x+4ay}{36a^2b^3c^4} $$

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей. К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью.

У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем. Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями. Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателяминайти НОК всех знаменателей; проставить к каждой дроби дополнительные множители; умножить каждый числитель на дополнительный множитель; полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель; произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель. Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

a:b - c:d = ad - bc : db

Например, чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:
1) разложить знаменатели дробей на множители
2) привести дроби к общему знаменателю 
3) вычесть числители, а знаменатели оставить без изменения.

$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd} $$

Общий алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:

  1. привести дроби к наименьшему общему знаменателю (подобрать число, которое без остатка будет делиться на оба знаменателя).
  2. общий знаменатель разделить на знаменатель первой дроби, получившийся результат умножить на числитель первой дроби и записать в числитель.
  3. то же самое проделать со второй дробью.
  4. от полученного числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби.
  5. знаменатель оставить без изменения.

Возьмем например 1/2 - 1/3. приводим всё к общему знаменателю и всё перемножаем: 1/2 * 3 = 3/6, а 1/3 * 2 = 2/6. потом все вычитаем, 3/6 - 2/6 = 1/6.

Как решать дроби на вычитание и сложение с разными знаменателями?

Надо привести обе дроби к общему знаменателю, числители дробей домножить на недостающие множители, а потом выполнить с числителями то действие, которое указано в задании. Например,

$$ \frac{1}{2}+ \frac{3}{4} = \frac{1*2}{2*2}+ \frac{3}{4} =\\= \frac{2}{4}+ \frac{3}{4}= \frac{3+2}{4} = \frac{5}{4}=1 \frac{1}{4};\\ \frac{1}{4}- \frac{1}{6} = \frac{1*3}{4*3} - \frac{1*2}{6*2} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} =\\= \frac{3-2}{12}= \frac{1}{12} $$

Лучше всего приводить дроби к наименьшему общему знаменателю. Тогда после всех вычислений не придется сокращать дробь. Последний пример с вычитанием можно решить еще так:

$$ \frac{1}{4}- \frac{1}{6}= \frac{1*6}{4*6}- \frac{1*4}{6*4}= \frac{6}{24}- \frac{4}{24}=\\= \frac{6-4}{24}= \frac{2}{24}= \frac{2:2}{24:2}= \frac{1}{12}. $$

Ответ получился такой же, но в предпоследнем равенстве мы разделили числитель и знаменатель на 2, т. е. мы сократили дробь на 2.

 

Если не получается найти наименьший общий знаменатель, то ищем тот, который легче найти, т.е. просто перемножаем знаменатели дробей, после этого числитель первой дроби надо умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби надо умножить на знаменатель первой дроби.

Подробно порядок действий:

  1. Дробь переводится в неправильную, т. е. 1 4/8 (одна целая. четыре восьмых) переводим в 12/8 (двенадцать восьмых). Таким образом переводим все дроби в выражении
  2. Если нам нужно выполнить сложение или вычиание, то приводим дроби к общему знаменателю и выполняем действия
  3. Если нужно умножить, то просто перемножаем дроби.
  4. Если нужно разделить, то переворачиваем 1 любую дробь (было 2/5, переворачиваем и получаем 5/2) и выполняем умножение дробей