Степени

Правила действий со степенями
Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем: $$ (abc...)^n =a^n b^n c^n ...$$ Практически более важно обратное преобразование: $$ a^n b^n c^n ...= (abc...)^n $$, т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя: $$...
Основные свойства степени
Свойства степеней (с примерами) 1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$, если a≠0 Например: $$ 112^0 = 1, (−4)^0 = 1, (0,15)^0 = 1 $$ 2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу: $a^1 = a$ Например: $$ 23^1 =23, (−9,3)^1 = −9,3 $$ 3-е свойство степени Любое число в четной...
Сравнение степеней
Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном n аn > bn. Это свойство было доказано в разделе про неравенства. Пример. Какое число больше: 2300 или 3200 ? Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество аmn...
График логарифмической функции
Логарифмической функцией называется функция вида y = logax, где а - некоторое фиксированное положительное число, отличное от 1. Формула y = logax выражает то же самое, что и формула аy= х. (1) Отсюда легко установить связь между логарифмической функцией и показательной функцией у = аx (2) Если показательная функция (2) описывает изменение степени в зависимости от изменения ее показателя, то ввиду (1) логарифмическая функция, наоборот, описывает изменение...

Примеры и задачи на степени

Уравнение log (х+5) по основанию 3=4-log(3x+1) по основанию 3 Вычислить. Log (36√6 над корнем степень 4)по основанию 6...
Решение: $$ \log_3(x+5)=4-\log_3(3x+1) $$Перенесем все логарифмы в лево:$$ \log_3(x+5)+\log_3(3x+1)=4 $$По свойству:$$ \log_3(x+5)(3x+1)=4 $$Откуда:$$ 3^4=(x+5)(3x+1) $$$$ 81=3x^2+16x+5 $$$$ 3x^2+16x-76=0 $$$$ \sqrt{D}= \sqrt{1168}=4 \sqrt{73} $$$$ x_{1,2}= \frac{-16\pm4\sqrt{73} }{6}= \frac{-4(4\pm \sqrt{73}}{6}=- \frac{2(4\pm \sqrt{73})}{3} $$2)$$ \log_6(36 \sqrt[4]{6})=\log_636+ \frac{1}{4}\log_66=2+\frac{1}{4}=2,25 $$... Подробнее »

Боковая сторона и меньшее основание равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, стягивают дуги по 60 градусов. Найти площадь трапеции, если её высота равна 4 корня 4 степени из 3...
Решение: ABCD вписанная равнобедренная трапеция, $ ВH= 4 \sqrt[4]{3} $ -высота.Поскольку меньшее основание и боковые стороны стягивают дуги по 60 градусов, радиусы, соединяющие центр окружности с вершинами при меньшем основании трапеции, равны этому основанию.Вместе они стягивают дугу 180гр. Значит и большее основание стягивает дугу 180гр,тогда большее основание равно 2 радиусам.\( AH=R/2=BH/sinA=... Подробнее »

Решите, используя свойства степеней: $ \frac{5^7 \cdot 7^8}{35^7} $; $ \frac{2^17 \cdot 3^6}{24^5} $; $ \frac{36^7}{2^12 \cdot 3^10} $...
Решение: 1)5⁷ x 7⁸ 5⁷ x 7⁸ ______ = ______ = 7¹ = 7. 35⁷ 5⁷ x 7⁷2)2¹⁷ x 3⁶ 2¹⁷ x 3⁶ 2¹² x 3¹ 2¹² x 3 2¹² x 3_____ = _________ =... Подробнее »

Найдите значение примера, используя свойства степеней $ \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } $, $ \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } $, .......
Решение: 1) $ \frac{ 9^{5} }{ 3^{7} } = \frac{ (3^{2})^5}{ 3^{7} } = \frac{ 3^{10}}{ 3^{7} } = 3^{3} =27 $ 2) $ \frac{ 8^{7} }{ 4^{8} } = \frac{ (2^{3})^7 }{ (2^{2})^8 } = \frac{ 2^{21} }{ 2^{16} } = 2^{5} = 32 $ 3) \( = \frac{ (3^{3})^3* (3^{2})^4 }{ (3^{4})^3 }... Подробнее »

Возведите в степень: $ (a^{2}x \sqrt[3]{3 a^{2}x})^{4} $...
Решение: Арифметические корни рассматриваются только для корней чётной степени (квадратных, например). Они должны иметь неотрицательное значение и подкоренное выражение может быть только неотрицательным. А корни нечётных степеней могут извлекаться и из отрицательных выражений и сами могут принимать отрицательные значения. Поэтому в вашем примере никаких модулей писать не надо, т.к. корень 3 степени. $$ \sqrt[3]{x^3}=x\\|x|x^4= \left \{ {{x^5,\; esli\; x \geq 0,} \atop {-x^5,\; esli\; x... Подробнее »

Возведите в степень произведение:(-4а) в 3 степени (-0,1у) в 4 степени (-5ху) во 2 степени (-3/4 авс ) в 3 степени Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени...
Решение: (-4а)³ = - 64a³ ; (-0.1y)⁴ = 0.0001 y⁴ ; (-5ху)²= 25 x² y² ; (-3/4 авс)^3 = - 27/64 a³ в³ c³(-а)²=а²(-а)³= - а³(-а)⁶=а⁶(-а)⁵= -а⁵(-а)²°° = а²°°(-а)²³= -а²³(-а) ^2n = a^2n, ⇒ 2n - четная степень переменной (-а)(-a) ^ (2n+1) = - а ^(2n+1) , ⇒. (2n+1) - нечетная степень переменной (-а)... Подробнее »