степени »

степень с рациональным показателем

  • 27в степени -2/3*9-2; тема степень с рациональным показателем.


    Решение: 27 ^ ( - 2/3 ) = ( 3^3 ) ^ ( - 2/3 ) = 3 ^ ( - 2 ) 
    9 ^ ( - 2 ) = ( 3 ^ 2) ^ ( - 2 ) = 3 ^ ( - 4 )
    ----------
    3 ^ ( - 2 ) * 3 ^ ( - 4 ) = 3 ^ ( - 2 - 4 ) = 3 ^ ( - 6 ) 
    -----------
    Ответ 3 ^ ( - 6 ) или 1 / ( 3 ^ 6 )

    -2/3*9 = -18/3. Дальше -18/3 - 2 = -18/3 - 6/3 = -24/3 = -8 степень.
    Теперь при возведении 27 в -8 степень у нас получается 1 / 27^8

  • Представьте в виде степени с рациональным показателем: \(a^{\frac{2}{5}}b^{-\frac{3}{4}}c^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{5}}b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{3}}\)
    Найдите значение \((\frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{3}{5}}\sqrt[5]{b^{-3}}}{(ac)^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc)^{-3} \;\;\text{при}\;\; a=32; b=c=\frac{1}{3}\)


    Решение: [a^(2/5)]·[b^(-3/4)]·[c^(1/2)]·[a^(-3/5)]·[b^(1/2)]·[c^(-1/3)]=
    =[a^((2/5)-3/5))]·[b^((-3/4+1/2))]·[c^(1/2-1/3)]=
    =[a^(-1/5)]·[b^(-1/4)]·[c^(1/6)]
    {a^(-3/5)·b^(-3/5)·∛(b⁻³)/[(ac)^(-4/5)·b^(-7/5)] + 9bc}^(-3)=
    =[(a^(1/5)b^(-1/5)c^(4/5)+9bc)]^(-3)=
    b=c=1/3 a=32=2⁵ (a^(1/5)=(2⁵ )^(1/5) =2 тогда
    =[2c^(3/5)+9c²]^(-3)=[2(1/3)^(3/5)+1]^(-3)

    $$ 1)\; \; a^{\frac{2}{5}}b^{-\frac{3}{4}}c^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{3}{5}}b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{3}}=a^{\frac{2}{5}-\frac{3}{5}}\cdot b^{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\\\\=a^{-\frac{1}{5}}\cdot b^{-\frac{1}{4}}\cdot c^{\frac{1}{6}}=\frac{c^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{5}}}\cdot b^{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[5]{a}\sqrt[4]{b}}\\\\2)\; \; a=32,b=c=\frac{1}{3}\\\\\left ( \frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{3}{5}}\cdot \sqrt[5]{b^{-3}}}{(ac)^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc\right )^{-3}= \\ =\left (\frac{a^{-\frac{3}{5}}b^{-\frac{6}{5}}}{a^{-\frac{4}{5}}c^{-\frac{4}{5}}b^{-\frac{7}{5}}}+9bc\right )^{-3}=\left (a^{\frac{1}{5}}b^{\frac{1}{5}}c^{\frac{4}{5}}+9bc)\right )^{-3}=\\\\=\left (\sqrt[5]{32\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^4}}+9\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\right )^{-3}=\left (\sqrt[5]{2^5\cdot \frac{1}{3^5}}+9\cdot \frac{1}{3^2}\right )^{-3}=\\\\=\left (\frac{2}{3}+1\right )^{-3}=(\frac{5}{3})^{-3}=\frac{27}{125} $$

  • Найдите значение выражения \(\frac{(m-n)^{\frac{4}{9}}(m-n)^{\frac{2}{9}}(m-n)^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}}\) при m=90,25; n=30,25
    Упростите выражение: \((m+n):(m^{\frac{3}{2}}-m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{2}{3}})\)


    Решение: 1
    $$ (m-n) ^{4/9+2/9+1/3) } /( \sqrt{m} + \sqrt{n} )=(m-n)/( \sqrt{m} - \sqrt{n} )= $$(√m-√n)(√m+√n)/(√m+√n)=√m-√n
    m=361/4  n=121/4
    √(361/4)-√(121/4)=19/2-11/2=8/2=4
    2
    (∛m+∛n)(∛m²-∛(mn)+∛n²)/(∛m²-∛(mn)+∛n²)=∛m+∛n

    m-n sqrt m sqrt n m-n sqrt m - sqrt n m- n m n m n m- nm   n - - m n m - mn n m - mn n m n...

  • Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем корень из 2, 3корня из 17, 8 корней из а в 12ой степени, 4 корня из 6 в -5 степени?


    Решение: 1) V 2 = 2 ^ 1\2 (два в степени 1\2)

    2) 3 V 17 = V 9 * 17 = V 153 = 153 ^ 1\2

    3) 8 V A ^ 12 = 8 * A ^ 6 = 2 ^ 3 * A ^6 = (2A^2)^3

    4) (4 V 6 ) ^-5 = (V 6 * 16 )^-5 = (V 2*3 * 2^4 )^-5 = (V 3* 2^5)^-5 = (1\3)^5 * (2)^-25

    V два в степени V V V V A A A A V - V - V - V - -...

  • Степень с рациональным показателем.
    №1
    напишите выражения в виде корня
    1)\( 6^{-1,5;} \)
    2).\( 7^{1,2;} \)
    №2
    напишите корни в виде степени с рациональным показателем
    1)\( \sqrt[15]{ x^{-8} } \)
    2)\( \sqrt[8]{ 5^{3} } \)
    №3
    найдите значения выражения
    1)\( 16^{7/4} \)
    2)\( ( 27^{3}/ 125^{6})^{2/9} \)
    3)\( 81^{0,75} :8^{7/3} \)
    4)\( (36/25)^{0,5}* (125/27)^{-1/3} \)


    Решение: №1
    1)1/6^3/2=1/\(\sqrt{6^3}\)
    2)7^6/5=\(\sqrt[5]{7^6}\)
    №2
    1)x^-8/15
    2)5^3/8
    №3
    1)(2^4)^7/4=2^7=128
    2)(3^9/5^18)^2/9=3^2*5^4=9*625=5625
    3)(3^4)^0,75:(2^3)^7/3=3^3:2^7=27:128=27/128
    4)((6/5)^2)^0,5*((5/3)^3)^-1/3=6/5*(5/3)^-1=6/5*3/5=18/25

    sqrt sqrt x - - -...

  • Рациональные выражения корень и степень.\( ( \frac{2}{7} +1 \frac{5}{6} )*10,5 \)


    Решение: 1 целая 5/6 = 11/6 -неправильная дробь.
    2/7 + 11/6 = 12/42 + 77/42 -привели к общему знаменателю = 89/42
    10.5 = 10 целых 5/10 = 10 целых 1/2 = 21/2 -неправильная дробь
    89/42 * 21/2 = (89/ (2*21) ) * 21/2 = 89/4 -сократили на 21
    этот пример удобнее решать в обыкновенных дробях (можно сокращать.)
    а 89 уже можно разделить на 4. или записать правильной дробью.
    89/4 = 22 целых 1/4 (1/4 = 0.25)

  • Понятие степени с любым рациональным показателем. a) \(\frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{a-b}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b} +2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\)
    b) \(\frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}+\frac{b}{a-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\)


    Решение: $$ 1)= \frac{(a^{1/2})^3-(b^{1/2})^3}{a^{1/2}+b^{1/2}}* \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a^{1/2}+b^{1/2})}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b}+2a^{1/2}b^{1/2}= \\ = \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a+a^{1/2}b^{1/2}+b)}{a^{1/2}+b^{1/2}}* \frac{(a^{1/2}-b^{1/2})(a^{1/2}+b^{1/2})}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b}+2a^{1/2}b^{1/2}= \\ =(a^{1/2}-b^{1/2})^2+2a^{1/2}b^{1/2}=a-2a^{1/2}b^{1/2}+b+2a^{1/2}b^{1/2}=a+b \\ 2)= \frac{a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}} - \frac{a^{1/2}}{a^{1/2}-b^{1/2}}+ \frac{b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})}= \\ = \frac{(a^{1/2}+b^{1/2})(a^{1/2}-b^{1/2})-a^{1/2}*a^{1/2}+b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})}= \\ = \frac{a-b-a+b}{a^{1/2}(a^{1/2}-b^{1/2})} =0 $$

  • решить: 27в степени -2/3*9-2, тема степень с рациональным показателем.


    Решение: 27 ^ ( - 2/3 ) = ( 3^3 ) ^ ( - 2/3 ) = 3 ^ ( - 2 ) 
    9 ^ ( - 2 ) = ( 3 ^ 2) ^ ( - 2 ) = 3 ^ ( - 4 )
    -
    3 ^ ( - 2 ) * 3 ^ ( - 4 ) = 3 ^ ( - 2 - 4 ) = 3 ^ ( - 6 ) 
    -
    Ответ 3 ^ ( - 6 ) или 1 / ( 3 ^ 6 )

    Получается, что -2/3*9 = -18/3. Дальше -18/3 - 2 = -18/3 - 6/3 = -24/3 = -8 степень.
    Теперь при возведении 27 в -8 степень у нас получается 1 / 27^8

  • Степень с рациональным показателем, \(25^{ \frac{3}{2} }\); \(0,001^{- \frac{1}{3} }\); \(-27\cdot 32^{\frac{1}{5}}+13^0\); \(7-3\cdot 64^{\frac{1}{6}}\); \(3^{0,12}\cdot 9^{0,44}\); \(\frac{3^{6,2}}{9^{1,6}}\); \((27^{-\frac{2}{3}})^{-2}\); \(16^{\frac{5}{4}}-(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}+27^{\frac{2}{3}}\);


    Решение: 1. $$ 25^{ \frac{3}{2} }=(5^{2})^{ \frac{3}{2} }=5^3=125 $$
    2. $$ 0,001^{- \frac{1}{3} }= (\frac{1}{1000} )^{- \frac{1}{3} }= \sqrt[3]{1000} =10 $$
    3. $$ -27*(2^5)^{ \frac{1}{5} }+13^0=-27*2+1=-53 $$
    4. $$ 7-3*(2^6)^{ \frac{1}{6} }=7-3*2=1 $$
    5. $$ 3^{0,12}*(3^2)^{0,44}=3^{0,12}*3^{0,88}=3^{0,12+0,88}=3^1=3 $$
    6. $$ \frac{3^{6,2}}{(3^2)^{1,6}} = \frac{3^{6,2}}{3^{3,2}}=3^{6,2-3,2}=3^3=27 $$
    7. $$ ((3^3)^{- \frac{2}{3} })^{-2}=(3^{-2})^{-2}=3^{(-2)(-2)}=3^4=81 $$
    8. $$ (2^4)^{ \frac{5}{4} }-(3^{-2})^{- \frac{1}{2} }+(3^3)^{ \frac{2}{3} }=2^5-3^1+3^2=32-3+9=38 $$

  • Степень с рациональным показателем. A1. Найдите значение выражения: а) \(28\cdot 32^{-\frac{2}{5}}\); б) \(\frac{3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{36}}\); в) \(\frac{(0,216^{\frac{4}{9}})^{\frac{3}{2}}}{0,09^{\frac{3}{4}}\cdot 0,027^{\frac{1}{6}}}\)
    A2. Упростите выражение: а) \(y^{1,7}y^{2,8}y^{-1,5}\); б) \((a^{-0,75})^{\frac{4}{3}}\)
    B1. Вычислите значение выражения \(625^{-\frac{3}{2}}\cdot 5^{-3}\cdot 25 + 7\cdot(4^0)^4 -25^{-3\frac{1}{2}}+(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}\)
    B2. Упростите выражения \(\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}+1}\cdot a^{\frac{1}{4}}\) и найдите его значение при a=25


    Решение: $$ A1.\;a)\;28\cdot32^{\frac25}=28\cdot(32^{\frac15})^2=28\cdot(\sqrt[5]{32})^2=28\cdot2^2=28\cdot4=112\\b)\;\frac{3^\frac12\cdot2^\frac12}{\sqrt[4]{36}}=\frac{\sqrt3\cdot\sqrt2}{\sqrt6}=\frac{\sqrt{3\cdot2}}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{\sqrt6}1\\c)\;\frac{\left(0,216^{\frac49}\right)^{\frac32}}{0,09^{\frac34}\cdot0,027^{\frac16}}=\frac{0,216^{\frac49\cdot\frac32}}{(0,3^2)^{\frac34}\cdot(0,3^3)^{\frac16}}=\frac{0,216^{\frac23}}{0,3^{\frac32}\cdot0,3^{\frac12}}=\frac{(\sqrt[3]{0,216})^2}{0,3^{\frac32+\frac12}}= \\ =\frac{0,6^2}{0,3^2}=\left(\frac{0,6}{0,3}\right)^2=2^2=4\\A2.\;a)\;y^{1,7}\cdot y^{2,8}\cdot y^{-1,5}=y^{1,7+2,8-1,5}=y^3\\b)\;(a^{-0,75})^{\frac43}=(a^{-\frac34})^\frac43=a^{\left(-\frac34\right)\cdot\frac43}=a^{-1}\\B1.\;625^{-\frac32}\cdot5^{-3}\cdot25+7\cdot(4^0)^4-25^{-3\frac12}+\left(\frac18\right)^{\frac13}=\\=(5^4)^{-\frac32}\cdot5^{-3}\cdot5^2+7\cdot1^4-25^{-\frac72}+(2^{-3})^{\frac13}=\\=5^{-6}\cdot5^{-3}\cdot5^2+7-(\sqrt{25})^{-7}+2^{-1}=5^{-7}+7-5^{-7}+\frac12=7\frac12 \\ B2.\;\frac{a-1}{a^{\frac34}+a^\frac12}\cdot\frac{a^\frac12+a^\frac14}{a^\frac12+1}\cdot a^\frac14=\frac{(a^\frac12-1)(a^\frac12+1)}{a^\frac34+a^\frac12}\cdot\frac{a^\frac14(a^\frac12+a^\frac14)}{a^\frac12+1}=\\=\frac{a^\frac12-1}{a^\frac34+a^\frac12}\cdot(a^\frac34+a^\frac12)=a^\frac12-1=\sqrt a-1\\a=25\\\sqrt{25}-1=5-1=4 $$

1 2 > >>