степени »
степень с рациональным показателем - страница 2
Степень с рациональным показателем. A1. Найдите значение выражения: а) \(28\cdot 32^{-\frac{2}{5}}\); б) \(\frac{3^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{36}}\); в) \(\frac{(0,216^{\frac{4}{9}})^{\frac{3}{2}}}{0,09^{\frac{3}{4}}\cdot 0,027^{\frac{1}{6}}}\)
A2. Упростите выражение: а) \(y^{1,7}y^{2,8}y^{-1,5}\); б) \((a^{-0,75})^{\frac{4}{3}}\)
B1. Вычислите значение выражения \(625^{-\frac{3}{2}}\cdot 5^{-3}\cdot 25 + 7\cdot(4^0)^4 -25^{-3\frac{1}{2}}+(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}}\)
B2. Упростите выражения \(\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}+1}\cdot a^{\frac{1}{4}}\) и найдите его значение при a=25
Решение: $$ A1.\;a)\;28\cdot32^{\frac25}=28\cdot(32^{\frac15})^2=28\cdot(\sqrt[5]{32})^2=28\cdot2^2=28\cdot4=112\\b)\;\frac{3^\frac12\cdot2^\frac12}{\sqrt[4]{36}}=\frac{\sqrt3\cdot\sqrt2}{\sqrt6}=\frac{\sqrt{3\cdot2}}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{\sqrt6}1\\c)\;\frac{\left(0,216^{\frac49}\right)^{\frac32}}{0,09^{\frac34}\cdot0,027^{\frac16}}=\frac{0,216^{\frac49\cdot\frac32}}{(0,3^2)^{\frac34}\cdot(0,3^3)^{\frac16}}=\frac{0,216^{\frac23}}{0,3^{\frac32}\cdot0,3^{\frac12}}=\frac{(\sqrt[3]{0,216})^2}{0,3^{\frac32+\frac12}}= \\ =\frac{0,6^2}{0,3^2}=\left(\frac{0,6}{0,3}\right)^2=2^2=4\\A2.\;a)\;y^{1,7}\cdot y^{2,8}\cdot y^{-1,5}=y^{1,7+2,8-1,5}=y^3\\b)\;(a^{-0,75})^{\frac43}=(a^{-\frac34})^\frac43=a^{\left(-\frac34\right)\cdot\frac43}=a^{-1}\\B1.\;625^{-\frac32}\cdot5^{-3}\cdot25+7\cdot(4^0)^4-25^{-3\frac12}+\left(\frac18\right)^{\frac13}=\\=(5^4)^{-\frac32}\cdot5^{-3}\cdot5^2+7\cdot1^4-25^{-\frac72}+(2^{-3})^{\frac13}=\\=5^{-6}\cdot5^{-3}\cdot5^2+7-(\sqrt{25})^{-7}+2^{-1}=5^{-7}+7-5^{-7}+\frac12=7\frac12 \\ B2.\;\frac{a-1}{a^{\frac34}+a^\frac12}\cdot\frac{a^\frac12+a^\frac14}{a^\frac12+1}\cdot a^\frac14=\frac{(a^\frac12-1)(a^\frac12+1)}{a^\frac34+a^\frac12}\cdot\frac{a^\frac14(a^\frac12+a^\frac14)}{a^\frac12+1}=\\=\frac{a^\frac12-1}{a^\frac34+a^\frac12}\cdot(a^\frac34+a^\frac12)=a^\frac12-1=\sqrt a-1\\a=25\\\sqrt{25}-1=5-1=4 $$
Степень с рациональным показателем:
5^9 6^12 / 30^9
Решение: Всё решается через свойства степеней.
Произведение чисел, возведённых в какую-то степень, можно представить как произведение чисел возведённых в эту же степень(отдельно) и наоборот, то есть:
$$ (a*b)^n=a^n*b^n\\a^n*b^n=(a*b)^n $$
Наше выражение можно вычислить 2-мя способами:
1)
$$ \frac{5^{9}*6^{12}}{30^9}=\frac{5^9*6^{12}}{(5*6)^9}=\frac{5^9*6^{12}}{5^9*6^9}=\frac{6^{12}}{6^9}=6^{12-9}=6^3=216 $$
2)
$$ \frac{5^9*6^{12}}{30^9}=\frac{5^9*6^{9+3}}{30^9}=\frac{5^9*6^9*6^3}{30^9}=\frac{(5*6)^9*6^3}{30^9}=\frac{30^9*6^3}{30^9}=6^3=216 $$
Степень с рациональным показателем: 1) \(5(\sqrt{27}-\sqrt3):\frac{2}{\sqrt3}\)
2) \(((\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8})^2 -6)((\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8})^2 +6)\)
3) \(\sqrt{8-\sqrt{28}}-\sqrt{8+\sqrt{28}}\)
4) \(64^{\frac{5}{6}}-(0,125)^{-\frac{1}{3}}-32\cdot 2^{-4}\cdot 16^{-1\frac{1}{2}}\cdot (3^0)^4\cdot 4\)
Решение: $$ 1)5*(3 \sqrt{3} - \sqrt{3} )* \sqrt{3} /2=5*2 \sqrt{3} * \sqrt{3}/2=5*3=15 \\ 2)( \sqrt{2} +2 \sqrt[4]{16} +2 \sqrt{2} -6)( \sqrt{2}-2 \sqrt[4]{16}+2 \sqrt[4]{16} +6)= \\ (3 \sqrt{2} +2*2-6)(3 \sqrt{2} -2*2+6)=(3 \sqrt{2}-2)(3 \sqrt{2} +2)=18-4=14 \\ 3) \sqrt{( \sqrt{7}-1)^2 } - \sqrt{( \sqrt{7} +1)^2} = \sqrt{7} -1- \sqrt{7} -1=-2 \\ 4)(2^6) ^{5/6} *(2 ^{-3}) ^{-1/3} -2^5*2 ^{-4} *(2^4) ^{-3/2} *1^4= \\= 2^5*2-2^5*2 ^{-4}*2 ^{-6}*1=2^6-2 ^{-5} =64-1/32...$$СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
№865 Запишите числа:
а) 1 000 000, 100 000, 10 000, 1000, 100, 10, 1, 1/100, 1/1000, 1/10 000, 1/100 000, 1/1 000 000 степенью с основанием 10 ;
г) 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625 степенью с основанием 5
3125=5^5
Решение: а)1 000 000=10⁶100 000=10⁵
10 000=10⁴
1000=10³
100=10²
10=10¹
1=10⁰
1/100=10⁻²
1/1000 =10⁻³
1/10 000=10⁻⁴
1/100 000=10⁻⁵
1/1 000 000=10⁻⁶
г)
$$ \frac{1}{625}=\frac{1}{5^{4}}=5^{-4} \\ \frac{1}{125}=\frac{1}{5^{3}}=5^{-3} \\ \frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}=5^{-2} \\ \frac{1}{5}=\frac{1}{5^{1}}=5^{-1} $$
1=5⁰
5=5¹
25=5²
125=5³
625=5⁴
.
а) 10^6; 10^5; 10^4; 10^3; 10^2; 10^1; 10^0; 10^-2; 10^-3; 10^-4; 10^-5; 10^-6.
б) 5^-4; 5^-3; 5^-2; 5^-1; 5^0; 5^1; 5^2; 5^3;5^4.
