сумма степеней

Найдите сумму действительных корней уравнения x(в степени3)+6x(в степени2)+12x+35=0.

1) Найти значение выражения 3sqrt2*2^(1/2)- корень из 16 в степени 4 2)Вычислить 8^(2-log числа 6 пооснованию2) +5^(-log числа27 по основанию 5) 3) Найти сумму корней уравнения 9^ (x-1/2)=27^(x^2-1)

$$ 3\sqrt2*2^{\frac{1}{2}}-\sqrt{16^4}=3\sqrt2*\sqrt2-16^2=3*2-256=-250 $$

2) $$ 8^{2-log_26}+5^{-log_527}=(2^3)^{2-log_26}+5^{log_5\frac{1}{27}}=\frac{2^6}{2^{3log_26}}+5^{log_5\frac{1}{27}}= \\ =\frac{2^6}{6^3}+\frac{1}{27}=\frac{2^6}{2^3*3^3}+\frac{1}{27}=\frac{8}{27}+\frac{1}{27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3} $$

3) $$ 9^{x-1/2}=27^{x^2-1} \\ 3^{2x-1}=3^{3x^2-3} \\ 2x-1=3x^2-3 \\ 3x^2-2x-2=0. $$

D=(-2)²+24=28>0. Значит, уравнение имеет 2 корня х₁ и х₂.

Получили, что исходное показательное уравнение равносильно квадратному. Значит, согласно теореме Виета

$$ x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2}{3} $$

Назовем натуральное число n-богатым,если сумма всех его натуральных делителей больше 2n.например ,12 -число богатое,т.к.1+2+3+4+6+12 больше 24.Каким неможет быть богатое число?
А)точным квадратом
Б)числом,кратным 2013
В)больше миллиона
г)степень. числа 3
д)каждое из свойств А-Г -возможно.

     n^2+n+1 >= n + n + 1 > n

г) 3^n

    3 + 3^2 + ... + 3^n = 3(1+3+...+3^n-1) = 3*(3^n -1)/(3-1) = 3/2*3^n - 3/2 < 2*3^n

Из того, что необходимо выбрать один вариант, и вариант д) оказался невозможным в силу того, что в варианте г) степень числа трех не может быть n-богатым, остаётся г)

Вариант г)

Соотнесите десятичную дробь с разложением в сумму разрядных слагаемых x-умножить

^-степень
^(-1)-отрицательная степень сумма разрядных слагемых 1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4) 2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) 3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4)
4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) 5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) десятичная дробь А)0,7041 Б)0,7401 В)7,401 Г)70,0401 Д)0,0741

2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) = 7,401

3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4) = 70,0401
4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,0741

5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4) = 0,7041

Ответ:1-Б;2-В;3-Г;4-Д;5-А

1) 7х10^(-1) +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ : Б)0,7401;

2)7х10^0 +4x10^(-1)+1x10^(-3) :Ответ: В)7,401;

3)7х10^1 +4x10^(-2)+1x10^(-4):Ответ: Г)70,0401;

4)7х10^(-2) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: Д)0,0741;

5)7х10^(-1) +4x10^(-3)+1x10^(-4):Ответ: А)0,7041.

Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности,представьте в виде многочлена выражение:
а) (а+b)в четвёртой степени
б) (а-b)в четвёртой степени.

Произведение 10-ти натуральных чисел равно 10 в 10 степени. Какое наибольшее значение может принимать их сумма, если числа на обязательно различны?

Однородное тригонометрическое уравнение 2й степени:
a*sinx^2+b*cosxsinx+c*cos^2x=0
И сказано "сумма показателей степеней у всех слагаемых при sinx и cosx равна двум".

Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56

Докажите что сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при $$ n \geq 1 $$.

Докажем по индукции:

База индукции: $$ n = 1, 7 + 7^2 = 56 $$ 

Индукционное предположение:  Пусть $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56

Шаг индукции: Покажем, что $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$ делится на 56.

Действтельно, $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1}) $$

Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

В силу Утверждения 1, так как $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56, то и $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$делится на 56.

Вывод: Сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при \( n \geq 1 \).

Доказать, что если натуральное число при делении на 4 дает в остатке 2, то это число четное. У к а з а н и е. Рассматриваемое число представить в виде4n+2, где n- частное от деления этого числа на 4. Натуральное число а при делении на 3 дает в остатке 1, а натуральное число b при делении на 3 дает в остатке 2. Доказать, что сумма чисел a и b кратка трем. Доказать, что сумма двух последовательных четных степеней числа 3 оканчивается нулем. Доказать, что это же справедливо и для суммы двух последовательных нечетных степеней числа 3.

2)Из условия следует что a=3n+1, а b=3k+2. Их сумма=3n+1+3k+2=3n+3k+3=3(n+k+1), значит их сумма кратна 3

3)все четные числа представляются в виде 2n. Нам нужно доказать что $$ 3^{2n}+3^{2(n+1)} $$ оканчивается на 0, то есть делится на 10.

Но$$ 3^{2n}+3^{2(n+1)}=9^n+9^{n+1}=9^n(1+9)=9^n*10 $$

4)все нечетные числа представляются в виде 2n+1. Нам нужно доказать что оканчивается на 0, то есть делится на 10.

Но

$$ 3^{2n+1}+3^{2(n+1)+1}=3^{2n+1}+3^{2n+3}=3^{2n+1}(1+3^2)= $$

$$ =10*3^{2n+1} $$

Представьте число в виде суммы степеней основания с коэффициентами:1203 в третьей степени счисления, 43020 в пятой степени счисления, 70652 в 8 степени счисления