степени »

сумма степеней - страница 2

  • Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56


    Решение: 7n + 7n + 1 = 7n(1 + 7) = 7n×8 делится на 7 и на 8, следовательно, делится на 56.

    Докажите что сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при $$ n \geq 1 $$.

    Докажем по индукции:

    База индукции: $$ n = 1, 7 + 7^2 = 56 $$ 

    Индукционное предположение:  Пусть $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56

    Шаг индукции: Покажем, что $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$ делится на 56.

    Действтельно, $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1}) $$

    Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

    В силу Утверждения 1, так как $$ 7^k + 7^{k+1} $$ делится на 56, то и $$ 7^{k+1} + 7^{k+2} $$делится на 56.

    Вывод: Сумма $$ 7^n + 7^{n+1} $$ делится на 56, при \( n \geq 1 \).

  • Представьте число в виде суммы степеней основания с коэффициентами:1203 в третьей степени счисления, 43020 в пятой степени счисления, 70652 в 8 степени счисления


    Решение: 1. 1203:3=401 ост 0
      401:3=133 ост 2
      133:3=44 ост. 1
      44:3=14 ост. 2
      14:3=4 ост. 2
      4:3=1 ост.1
      1:3=0 ост.1
      1122120₃ 
    2. 43020:5=8604 ост. 0
      8604:5=1720 ост. 4
      1720:5=344 ост.0
      344:5=68 ост.4
      68:5=13 ост.3
      13:5=2 ост.3
      2:5=0 ост.2
      2334040₅
    3.
    70652:8=8831 ост.4
    8831:8=1103 ост.7
    1103:8=137 ост.7
    137:8=17 ост.1
    17:8=2 ост.1
    2:8=0 ост.2
    211774₈

  • Найдите сумму степеней многочлена -2а^3 * (3b-2ab+a) и одночлена-3xy^2


    Решение: Сумма степеней многочлена - наибольшая степень в многочлене. Но чтобы её найти, нужно привести многочлен к стандартному виду.
    -2а^3×(3b-2ab+a)=-6a^3b+4a^4b-2a^4=> наибольшая степень этого многочлена - 5.
    Сумма степеней одночлена - сумма всех его степеней, отсюда следует, сумма степеней одночлена -3ху^2 равна 3.

  • Какой цифрой оканчивается сумма: 54 в степени35+ 28 в степени 21


    Решение: 54 оканчивается на 4, во второй степени 4*4=16 последняя цифра 6, в третьей 6*4=24 последняя цифра 4, значит в 35 степени (нечетной) последняя цифра будет 4.

    28 оканчивается на 8, по той же логике 8*8=64, 4*8=32, 2*8=16, 6*8=48, значит в пятой степени последняя цифра 8, следовательно и в 21 степени последняя цифра будет 8

    Сумма 4 и 8 = 12

    Ответ: 2

  • Сумма числа и его удвоенной четвертой степени наименьшая. Найдите это число.


    Решение:

    F(x)=x+2x⁴
    f `(x)=(x+2x⁴)`=1+2*4x³=1+8x³=1³+(2x)³=(1+2x)(1-2x+4x²)
    f `(x)=0 при (1+2x)(1-2x+4x²)=0
      2(0,5+x)(1-2x+4x²)=0
      1-2x+4x²≠0 (D=-12<0)
      - +
      __________-0,5________________
      min
    при х=-0,5 функция f(x)=x+2x⁴ принимает наименьшее значение
    Ответ: -0,5

<< < 12 3 4 > >>