степени »
сумма степеней - страница 3
Использовать формулы кратных углов, суммы, разности и произведения, чтобы максимально сократить:
1) 3cos2x + 2sin4x + 16sin^3(x)*cosx=5
2) cos4x*cos5x=cos6x*cos7x
3) 3cosx + 4sinx=5sin5x
4) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
5) cos^2(x)+ cos^2(2x) + cos^2(3x)+ cos^2(4x)=2 (тут все косинусы во 2-ой степени)
Решение: Может, что то не правильно все примеры довольно сложные
1)3cos2x + 2sin4x + 16sin^3(x)*cosx=5
3cos2x+4sin2x*cos2x+8sin2x*sin^2 x=5
3cos2x+4sin2x(cos2x+2sin^2 x)=5
3cos2x+4sin2x=5
3/5*cos2x+4/5sin2x=1
сosa=3/5; sina=4/5
сos(2x-a)=1
2x-a=2πk,k∈Z
2x=a+2πk,k∈Z
x=a/2+πk,k∈Z
x=(arccos3/5)/2+πk,k∈Z или x=(arcsin4/5)/2+πk,k∈Z
Ответ x=(arccos3/5)/2+πk,k∈Z или x=(arcsin4/5)/2+πk,k∈Z
2) cos4x*cos5x=cos6x*cos7x
(cos9x+cosx)/2-(cos13x+cosx)/2=0
cos13x-cos9x=-2sin11x*sin2x=0
sin11x=0 или sin2x=0
11x= πk,k∈Z или 2x=πk,k∈Z
x=πk/11,k∈Z или x=πk/2,k∈Z
Ответ x=πk/11,k∈Z или x=πk/2,k∈Z
3) 3cosx + 4sinx=5sin5x
3/5cosx+4/5sinx=sin5x
cosa=4/5 sina=3/5
sin(x+a)=sin5x
sin5x-sin(x+a)=2sin(5x-x-a)/2*cos(5x+x+a)/2=2sin(2x-a/2)*cos(3x+a/2)=0
2x-a/2=πk,k∈Z
2x=a/2+πk,k∈Z
x=a/4+πk/2 =(arccos4/5)/4+πk/2 или (arcsin3/5)/4+πk/2,k∈Z
cos(3x+a/2)=0
3x+a/2=π/2+πk,k∈Z
3x=π/2-a/2+πk,k∈Z
x=π/6-a/6+πk/3,k∈Z=π/6-(arccos4/5)/6+πk/3 или π/6-(arcsin3/5)/6+πk/3,k∈Z
Ответ x=a/4+πk/2 =(arccos4/5)/4+πk/2 или (arcsin3/5)/4+πk/2,k∈Z;
x=π/6-a/6+πk/3,k∈Z=π/6-(arccos4/5)/6+πk/3 или π/6-(arcsin3/5)/6+πk/3,k∈Z
4) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
2cos2x*cosx+2cos2x*cosx=0
cosx*cos2x=0
x=π/2+πk,k∈Z
x=π/4+πk/2,k∈Z
Ответ x=π/4+πk/2,k∈Z
5)cos^2(x)+ cos^2(2x) + cos^2(3x)+ cos^2(4x)=2
(2cos2x*cosx)^2+(2cos2x*cosx)^2=2
cos^2 2x*cos^2 x=1/4
cos2x*cosx=+-1/2
x=+-π/3+2πk,k∈Z
x=+-2π/3+2πk,k∈Z
x=+-π/6+πk,k∈Z
x=+-π/3+πk,k∈Z
Ответ x=+-2π/3+2πk,k∈Z
x=+-π/6+πk,k∈Z
x=+-π/3+πk,k∈ZПредставьте дробь в виде суммы трех дробей, знаменателями которых являются многочленный первой степени \( \frac{3 z^{2}+6z+2 }{z^{3}+3 z^{2}+2z } \)
Решение: Для начала представим знаменатель в виде 3-х множителей первой степени z*(z+2)(z+1)
числитель представлен суммой 3-х слагаемых
составим модель ,разбирая знаменатель на части
A/z+B/(z+2)+C/(z+1)
теперь приводим к общему знаменателяю
(A*(z+2)(z+1) +B*z(z+1)+ C*z(z+2) )/z*(z+2)(z+1)=
(Az²+3Az+2A+Bz²+Bz+Cz²+2Cz)/z*(z+2)(z+1)=
сгруппируем и вынесем за скобку общий множитель
(z²(A+B+C)+z(3A+B+2C)+2A)/ z*(z+2)(z+1)
далее вернемся в начало и выпишим коэф. при переменной
3z²=z²(A+B+C)⇒A+B+C=3
6z=6*(3A+B+2C)⇒ 3A+B+2C=6
2A=2⇒A=1
1+B+C+3 ⇒B=2-C
2-C+2C=3 ⇒C=1 ,B=2-1=1
подставим полученные данные в составленную ранее модель
1/z +1/(z+2)+1/(z+1)Представьте дробь (13x+4)/(6x^2+x-2) в виде суммы двух дробей знаменатели которых являются двучленами первой степени с целыми коэффициентами
Решение: (13х + 4) / (6х² + х - 2)
Разложим на множители знаменатель 6х² + х - 2
D = 1² - 4 * 6 * (- 2) = 1 + 48 = 49
√D = √49 = 7
х₁ = (- 1 + 7)/12 = 6/12 = 1/2
х₂ = (- 1 - 7)/12 = - 8/12 = -2/3
6х² + х - 2 = 6*(х - 1/2) * (х + 2/3) = (2х - 1) * (3х + 2)
Работаем с числителем
13x+4=a(3x+2)+b(2x-1)=3ax+2a+2bx-b=(3a+2b)x+(2a-b),
Получим систему
{3a+2b=13,
{2a-b=4, умножим почленно на 2
{3a+2b=13,
{4a-2b=8,
Сложим почленно
7a = 21
a = 21 : 7
а = 3
Находим b
b = - 4 + 2 * 3 = - 4 + 6 = 2
b=2
А теперь
(13x+4)/(6x²+x-2) =
(3*(3x+2) + 2*(2x-1))/((3x+2)(2x-1))=
= 3(3x+2)/((3x+2)(2x-1)) + 2(2x-1)/((3x+2)(2x-1))=
= 3/(2x-1) + 2/(3x+2)
Ответ:
(13x+4)/(6x²+x-2) = 3/(2x-1) + 2/(3x+2)Упростить выражение
1)125х^-225x*y+135xy*-27y^
2)0,001a^-0,3a*b+30ab*-1000b^
3)0,027x^+1,08x*y_14,4xy*+64y^
------------
представить многочлен в виде куба суммы или куба разности двух выражений:
1)a^+6a*b+8b^
2)m^/27-m*n+9mn*-27n^
---------------
представить выраж. в виде многочлена:
1) (x*-y*)^=
2) (2a^-3b*)^=
3) (10p"В 4 степени"-6q*)^ =
4) (10x^+3y*)^=
Решение: Ни на что умножать не надо - надо просто знать формулу разности кубов.
Упростить выражение
1)125х^-225x*y+135xy*-27y^ = (5x)²-3(5x)²(5y)+3(3y)²(5x)-(3y)³= (5x-3y)³
2)0,001a^-0,3a*b+30ab*-1000b^=(0,1a)³-3(0.1a)²(10b)+3(10b)²(0.1a)-(10b)³=(0.1a-10b)³
3)0,027x^+1,08x*y_14,4xy*+64y^=(0.3x)³+3(0.3x)²(4y)+3(0.3x)(4y)²+(4y)²=(0.3x+4y)³
------------
представить многочлен в виде куба суммы или куба разности двух выражений:
1)для куба суммы не хватает слагаемого 12ab²
a^+6a*b+8b^ = (a^+6a*b+12ab²+8b^)-12ab²=(a³+3a²(2b)+3a(2b)²+(2b)³)-12ab²=(a+2b)³-12ab²
2)m^/27-m*n+9mn*-27n^=(m/3)³-3(m/3)²(3n)+9(m/3)(3n)²- (3n)³=(m/3-3n)³
представить выраж. в виде многочлена:
1) (x²-y²)³= (x²)³-3(x²)²(y²)+3(x²)(y²)²-(y²)³=x⁶-3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶
2) (2a³-3b³)²=4a⁶-2(2a³)(3b³)+9b⁶=4a⁶-12a³b³+9b⁶
3) (10p⁴-6q²)³ =(10p⁴)³-3(10p⁴)²(6q²)+3(10p⁴)(6q²)²-(6q²)³=10000p¹²-1600000000p⁸q²-1080000p⁴q⁴-216q⁶
4) (10x³+3y²)³=(10x³)³-3(10x³)²(3y²)+3(10x³)(3y²)²-(3y²)³=1000x⁹-900x⁶y²+270x³y⁴-27y⁶Формулы квадрата суммы и квадрата разности по формуле (a+b)во второй степени=аво второй степени + 2аb+bво второй степени. вот примеры: (t+v)во второй степени=... (m-n)во второй степени=... (p+1)во второй степени=... (y-2)во второй степени=... (c-x)во второй степени=... (3+a)во второй степени=... (z-5)во второй степени=... (b+6)во второй степени=...
Решение: Просто раскрыть скобки по формуле квадрата разности и квадрата суммы:(m-n)^2=m^2-2mn+n^2
(p+1)^2=p^2+2p+1(y-2)^2=y^2-4y+4
(c-x)^2=c^2-2cx+x^2
(3+a)^2=9+5a+a^2
(z-5)^2=z^2-10z+25
(b+6)^2=b^2+12b+36
(m-n)=m^2-2mn+n^2
(z-5) = z" - 10z + 25
1) Вычислите \( \frac{2 ^{2k-1}*3 ^{2k-2} }{10*6 ^{2k-3} } \)
2) Найдите значение выражения:\( \frac{28 ^{6} }{(4 ^{ \frac{5}{12} }*7 ^{ \frac{1}{2}) ^{12} } } \)
3) Представьте выражение в виде суммы: \( m ^{ \frac{2}{3} }n(m ^{ \frac{1}{3}} +n ^{ \frac{1}{3} } ) \)
4) Вычислите:
\( \frac{1}{1- \frac{1}{1-2 ^{-1} } } + \frac{1}{1+ \frac{1}{1+2 ^{-1} } } \)
5) Расположите в порядке возрастания числа \( 2 \sqrt{33} ; 3 \sqrt{14} и 8 \sqrt{2} \)
6) Найдите значение выражения: \( \frac{ \sqrt{n}-1.1 }{ \sqrt{k} }, \) ,где n=0.49, k=0.64
7) Записать выражение \( (c ^{9} ) ^{15} * c ^{3} \) в виде степени с основанием c.
8) Вычислить:\( \sqrt{4- \sqrt{7} } - \sqrt{4+ \sqrt{7} } \)
Решение: 7) 9+15+3=с^27
6) $$ \frac{ \sqrt{0.49}-1.1 }{\sqrt{0.64}}= \frac{0.7-1.1}{0.8}=-0.5 $$
3) раскрываем скобки и получаем $$ mn+m^ {\frac{2}{3}}n \frac{4}{3} $$
5)$$ 2 \sqrt{33}= \sqrt{132} \\ 3 \sqrt{14}= \sqrt{126} \\ 8 \sqrt{2}= \sqrt{128} $$
Ответ: $$ 1)3 \sqrt{14} \\ 2)8 \sqrt{2} \\ 3)2 \sqrt{33} $$
4) решаем снизу верх $$ 2^-1=0.5 \\ 1-0.5=0.5 \\ \frac{1}{0.5}=2 \\ 1-2=-1 \\ \frac{1}{-1}=-1 $$
это получилось в левой части
$$ 2^{-1}=0,5 \\ 1+0.5=1.5 \\ \frac{1}{1.5}= \frac{2}{3} \\ 1+ \frac{2}{3}= \frac{5}{3} \\ \frac{1}{ \frac{5}{3} }= \frac{3}{5} $$
теперь сумма
$$ -1+ \frac{3}{5}=- \frac{2}{5} $$
Ответ $$ \frac{2}{5} $$Некоторое число а возвели в третью степень. полученное трехзначное число записали в обратном порядке,получили простое число.Найдите исходное число а. В ответе укажите сумму цифр а^4.
Решение:Число, куб которого получается трехзначным числом, должно быть меньше 10, т.к. 10³=1000 - четырехзначное число, все последующие - тем более не подходят.
4³=64
5³=125
Записав это число в обратном порядке, получим 521. Это - простое число ( смотри таблицу простых чисел)
5⁴=625
Сумма цифр этого числа 6+2+5=13
Передставьте целое выражение в виде прозведения многочлена г)5a+5b-ax-bx e)m (во второй степени )-mn-2n+2m з)x (во четвёртой степени)-3x(в третей степени)+3x(во второй степени)-9x разложите мночлен на множители,предварительно представив один из его членов в виде суммы д) m(во второй степени)-3mn+2n(во второй степени)
Решение:г)5a+5b-ax-bx = 5(а+b)-x(a+b) = (a+b)(5-x)
e)m²-mn-2n+2m = m(m+2)-n(m+2) = (m+2)(m-n)
з)x4-3x³+3x²-9x = x³(x-3)+3x(x-3) = (x-3)(x³+3x) = x(x²+3)(x-3)
д) m²-3mn+2n² = m²-mn-2mn+2n² =\\= m(m-n)-2n(m-n) = (m-n)(m-2n)
г)$$ 5a+5b-ax-bx=5(a+b)-x(a+b)=(a+b)(5-x) $$
e)$$ m^{2}-mn-2n+2m=(m^{2}+2m)+(-mn-2n)=\\=m(m+2)-n(m+2) = (m+2)(m-n) $$
з)$$ x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-9x=x^{3}(x-3)+3x(x-3)=\\=(x-3)(x^{3}+3x) = x(x^{2}+3)(x-3) $$
д)$$ m^{2}-3mn+2n^{2}=m^{2}+(-mn-2mn)+2n^{2}=\\= (m^{2}-mn)+(-2mn+2n^{2})=(m^{2}-mn)-(2mn-2n^{2})=\\=m(m-n)-2n(m-n)=(m-n)(m-2n) $$
Во сколько раз степень многочлена 4a^6- 2a^4 + a - 1 больше суммы его коэффициетнов??))
Решение: Степень многочлена - высшая степень его одночленов, то есть у вас многочлен 6 степениСумма коэффициентов = 4+0-2+0+0+1-1=2
6:2=3
Ответ: в 3 раза
можно переписать:
4a^6-2a^4+1a-1*a^0
их сумма 4+(-2)+1+(-1)=2
степень многочлена - наивысшая его степень. у нас это 6
найдем во сколько раз степень больше суммы коэф:
6:2=3 раза
Найдите сумму многочленов 2х(х в 3 степени)-2х и -х(во 2 степени)+2х-1
Решение: 2х³-2х+х²+2х-1=2х³+х²-1если стоит минус во втором многочлене перед х², тогда будет так
2х³-2х-х²+2х-1=2х³-х²-1
