неравенство степень
Решите неравенство 5в степени x+1 +3*5в степени минус x больше или равен 16
Решение: $$ 5^{x+1}+3*5^{-x} \geq 16\\5^x*5^1+ \frac{3}{5^x}-16 \geq 0|*5^x\\\\5*5^{2x}+3-16*5^x \geq 0\\t=5^x\\5t^2-16t+3 \geq 0\\D=(-16)^2-4*5*3=196=14^2\\t_1=3;t_2= \frac{1}{5}\\\\5(t-3)(t- \frac{1}{5}) \geq 0 $$
+ - +
______________1/5______________3____________
t≥1/5 t≥3
$$ 5^x \geq \frac{1}{5}\\5^x \geq 5^{-1}\\x \geq -1\\x\in[-1;+\infty)\\\\5^x \geq 3\\x \geq log_53 $$Решите неравенство 3(в степени 2x−5)+3(в степени 2x−6)−3(в степени 2x−7)−3( в степени 2x−8) меньше равно 32.
Решение: Знак не меняем,т.к. основание 3 больше 1.$$ 3^{2x-5}*(1+3^{-1}-3^{-2}-3^{-3}) \leq 32 $$
$$ 3^{2x-5}*(1+ \frac{1}{3}- \frac{1}{9} - \frac{1}{27} ) \leq 32 $$
$$ 3^{2x-5}*\frac{27+9-3-1}{27} \leq 32 $$
$$ 3^{2x-5}*\frac{32}{27} \leq 32 $$ - разделим обе части неравенства на 32/27
$$ 3^{2x-5} \leq 32: \frac{32}{27} $$
$$ 3^{2x-5} \leq 27 $$
$$ 3^{2x-5} \leq 3^{3} $$
Т.к. основание степени больше 1, то показатели сравниваются с тем же знаком:
$$ 2x-5 \leq 3 $$
$$ 2x \leq 8 $$
$$ x \leq 4 $$решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0
Решение: 9^x - 3^x - 6 > 03^2x - 3^x - 6 > 0
замена
3^x = y
ОДЗ: у > 0
y² - y - 6 > 0
найдём нули функции f(y) = y² - y - 6
решим уравнение y² - y - 6 = 0
D = 1 + 24 = 25
√D = 5
y₁ = (1 - 5):2 = -2
y₁ = (1 + 5):2 = 3
График функции f(y) = y² - y - 6 квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)
c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)
вернёмся к замене
3^x = 3
х = 1
Ответ: х∈(1; +∞)
$$ 9^x-3^x-6>0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0 $$
$$ <=> 3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0 $$
$$ 3^x(3^x+2)-3(3^x+2)>0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0 $$
Так как $$ 3^x+2 $$ больше нуля при всех значениях x, то нам необходимо только найти при каких значениях x выражение $$ 3^x-3>0 $$. Ее легко решить и получить что x>1
Решите неравенство:
2 в степени 10х-16 больше либо равно 16 в степени 2х
Решение: 16=2^3значит:
2^10x-16 больше или равно 2^3+2x
т.к. основания равны, мы имеем право записать это так:
10x-16 б. или р. 3+2x
и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону без-в другую с противоположными знаками..
10x-2x б. или р.3+16
8x б. или р. 19
x б. или р. 19/8
и решением неравенства является промежуток: [19/8; + бесконечности]
Решите неравенство: Х в степени Log X по основанию 2 (меньше или равно) 16
Решение: х должен быть больше 0.Прологарифмируем обе части неравенства по основанию2:
Log (х в степени Log х по осн.2) по основанию 2 (меньше или равно) Log16 по основанию2.
Log х по основанию 2 * Log х по основанию 2 (меньше или равно) 4.
(Log х по основанию 2) в квадрате меньше или равно 4
Пусть Log х по основанию 2 = у
у в квадрате меньше или равно 4
у в квадрате - 4 меньше или равно 0. Решим это неравенство методом интервалов.
(у - 2)(у+2) меньше или равно 0. Отсюда у меньше или равно 2, но больше или равно -2.
Тогда Log х по основанию 2 меньше или равно 2, но больше или равно -2.
или log х по основанию 2 меньше или равно iog 4 по основанию 2, но больше или равно log 1/4 по основанию 2.
Отсюда х меньше или равно 4, но больше или равно 1/4.
Решите неравенство: 3 в степени 2х+8*9в степени х, -9 больше нуля
Решение: 1) Тройку в основании представим, как 9:
$$ 9^x+8*9^x-9>0 $$
2)-9 и 8 перекидываем в другую часть неравенства:
$$ 9^x*9^x>9-8 $$
3)Пользуемся свойством степеней:
$$ 9^{x+x}>1 \\ 9^{2x+4}>1 $$
Когда основание равно 1? Когда показатель степени равен 0! Вот и пишем:
$$ 2x+4>0 \\ 2x>-4 \\ x>-2 $$
Решите неравенства а) х"2"+3>0 б)-х"2"-2 меньшие либо равно 0 в)х"2"-4х+7 меньше либо равно 0 г)-х"2"+4хбольше либо равно 0 когда число в кавычках это значит степень 2 д) 3х"2"-10х+4<1
Решение: x>-3x=>-2
x=>3
x=>2
x=>3
а)х²+3>0 ⇒ х любое число,т,к х² всегда положительное
б)-х²-2≤0 ⇒-х²≤2 тоже любое,так как -х² всегад отрицательное
в)х²-4х+7≤0 нет решений,так как дискриминант <0,и при любых х левая часть положительная
г)-х²-4х≥0 ⇒ -х(х+4)≥0 ⇒ система х≤0 и х+4≥0 ⇒-4≤х≤0
система х≥0 и х+4 ≤0 ⇒ нет решений
значит -4≤х≤0
д)3х²-10х+4<1 ⇒ 3х²-10х+3<0 дискриминант равен Д=100-4*3*3=64
х₁=(10+8)/6=3 -∞ 2/6 3 +∞
х₂=(10-8)/6=2/6 ------|------------|----------- ответ 2/6< х<3
- + -
Решите на множестве R неравенство: (x-3)(x+2)-(x-3)^2>15x - 10 (x+2)^2-(x+2)(x-5)<14x-7
^-степень
Решение: сначала 1-ое уравнение:$$ (x+2)^{2} - (х+2)(х-5<14x-7) $$
$$ x^{2} -3x+2x-6- x^{2} +6x-9>15x - 10$$
-x-6 +6x-9-15x > -10
5x-15x>-10+6+9
-5x>5
x<1
теперь 2-ое
$$ x^{2} + 4x +2 - (x2+2x-5x-10) < 14x-7$$
4x+4-2x+5x+10<14x-7
4x-2x+5x-14x<-4-10-7
-7x<-21
x>3
ответ: х принадлежит \( (-\infty;1) \cup (3;+\infty) \)
Решите неравенство:
а)х(2)-4х<0
б)х(2)-3х-10>=0
в)-3х(2)+7х-4>0
(2)-степень
Решение: А) х2-4х <0
х (х-4)=0
х=0; х=4. потом чертите ось х и отмечаете эти числа, чертите параболу (ветви вверх) и получается пррмежуток (0;4)
б) х2-3х-10>=0
находите дискриминант и получаем корни 5 и -2. также чертите ось х, отмечаете точки и рисуете параболу. получаем промежуток (-бесконечности;-2] ;[5;+беспоконечности). важно что скобки квадратные, так как больше или равноС неравенствами: 27х(степень) < 9 х(степень)2(степень)
Решение:$$ 27^x< 9^{x^2} $$
$$ 3^{3x}< 3^{2x^2} $$
Gjскольку основани 3 >1, то между показателями такое же соотношение, как и межде чисоами
3х < 2х²
2х² - 3х > 0
Найдём нули функции у = 2х² - 3х
2х² - 3х= 0
х(2х - 3) = 0
х₁ = 0, х₂ = 1,5
Поскольку график функции у = 2х² - 3х квадратная парабола веточками вверх, то
ось х разобьётся на интервалы
+ - +
-------------0 ----------- 1,5 ---------
Ответ: х∈(-∞, 0) и (1,5; +∞)
