степени »

неравенство степень - страница 3

  • Решить неравенство:5 в степени х плюс 5 в степени 1-х больше 6


    Решение: 5^х + 5^1-х > 6 5^2х -5^х*6 + 5> 0 5^х=а
      а²-6а+5=0 а1,2=3+/-√9-5=3+/-2 а1=5 а2=1
      5^х=5 х=1 5^х=1 5^х=5^0 х=0
      Проверим : х=1 5+5^0=6 6>6 не подходит ,значти х=1 посторонний корень.Проверим х=0 1+5>6 тоже не подходит 
      Ответ : решения неравенство не имеет. 



  • Решите неравенство 1/2в степени х +1/2в степени х-2>5


    Решение: $$ ( \frac{1}{2})^{x}+( \frac{1}{2})^{x-2} > 5, \\ ( \frac{1}{2})^{x}+( \frac{1}{2})^{x}* (\frac{1}{2})^{-2} > 5, \\ ( \frac{1}{2})^{x}*(1+{2}^{2}) > 5, \\ ( \frac{1}{2})^{x}*(1+4) > 5, \\ ( \frac{1}{2})^{x}*5 > 5, \\ ( \frac{1}{2})^{x} > 1, \\ ( \frac{1}{2})^{x} > ( \frac{1}{2})^{0}, (\frac{1}{2} < 1)\\ x < 0 $$
    Ответ: х<0

  • Решить неравенство 2 в степени (5х+18) * 3 в степени(4х+11) * 7 в степени (3х+4) >(больше или равно) 504 в степени (х+7)


    Решение: $$ 2^{5x+18}*3^{4x+11}*7^{3x+4}\geq 504^{x+7}=>\\ 2^{5x+18}*3^{4x+11}*7^{3x+4}\geq (2^3*3^2*7^1)^{x+7}=>\\ 2^{5x+18}*3^{4x+11}*7^{3x+4}\geq 2^{3*(x+7)}*3^{2*(x+7)}*7^{x+7}=>\\ 2^{5x+18}*3^{4x+11}*7^{3x+4}\geq 2^{3x+21}*3^{2x+14}*7^{x+7}=>\\ 2^{5x+18-3x-21}*3^{4x+11-2x-14}*7^{3x+4-x-7}\geq 1=>\\ 2^{2x-3}*3^{2x-3}*7^{2x-3}\geq 1=>\\ (2*3*7)^{2x-3} \geq 1=>\\ (2*3*7)^{2x-3} \geq (2*3*7)^0=>\\ 2x-3 \geq 0=>\\ x \geq \frac{3}{2} $$

      Ответ $$ x \in [\frac{3}{2}; +\infty) $$

  • Нужно доказать неравенство. 2 в степени n > 2 * n в квадрате -3n +1. Доказать надо с помощью метода математическойиндукции.



    Решение: Проверяем для n=1: $$ 2^1=2,2*1^2-3+1=0 $$ ⇒ $$ 2>0 $$.
    Предполагаем для любого n∈|N: $$ 2^n>2n^2-3n+1 $$
    Шаг индукции: $$ 2^{n+1}=2*2^n>2(2n^2-3n+1) $$ 
    $$ 2(n+1)^2-3(n+1)+1=2n^2+n $$
    Докажем что выполняется неравенство: $$ 4n^2-6n+2 \geq 2n^2+n $$
    $$ 4n^2-6n+2-(2n^2+n)=2n^2-7n+2 $$
    $$ 2n^2-7n+2>0 $$ из исследования функции получаем что неравенство выполняется для любого n>3. 

    Для n=1 мы уже проверили, значит осталось проверить частный случай n=2,3, а дальше - шаг индукции гарантирует правильность для любого n>3.

  • Решить неравенство 3 в степени (4х^2-3х+1/2) меньше (1/3) в степени -40х^2


    Решение: Сначала нужно со степенью разобраться)) 4х2-3х-1/2=0 на 2 умножим получится 8х2-6х+1=0 решаем получается х=1/2 и х=1/4.. а следовательно 3 в степени 1/2 и 3 в степени 1/4 то получается корень из 3 и 4 корня из 3)  и всё это меньше 1/3 а дальше на числовой прямой)

  • Решить неравенство: \( x^{2} + 3x - 4 < 0 \)


    Решение: $$ x^{2} +3x-4 < 0 \\ x^{2} +3x-4=0 \\ D=9+4*4=9+16=25 \\ \sqrt{D} =5 \\ x_{1} = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} =1 \\ x_{2} = \frac{-3-5}{2} =- \frac{8}{2} =-4 \\ \ (x-1)(x+4) < 0 \\ $$
      +  - +
    ----------------|-------------------------|-----------------> x
      -4 1

    $$ x\in (-4;1) $$

    X²+3x-4<0
    x1+x2=-3 U x1*x2=-4
    x1=-4 U x2=1
       +  _  +
    ----------------(-4)-------------------(14)----------------
    x∈(-4;1)

  • Решите неравенство: 3,5 в степени x^2-5x>3,5 в степени -6


    Решение: 3,5 ^(x²-5x)>3,5^(-6)
    3,5>1, возрастает
    x²-5x>-6
    х²-5х+6>0
    х²-5х+6=0
    D=25-24=1
    x1=(5+1)/2=3
    x2=(5-1)/2=2

    Ответ: х∈(-∞;2)U(3;+∞)
    x - x - возрастаетx - x - х - х х - х D - x x - Ответ х - U...

  • решите неравенство: (1/5)в степени х в квадрате +2х больше (1/25) в степени 16-х


    Решение: приводим к одинаковым основаниям : 5 

    степень в скобках

    5(-Х в квадрате)больше 5(-32+2х)

    теперь приравниваем степени

    -х в квадрате больше -32-2х

    переносим всё в одну сторону получаем 

    -х в квадрате+32-2х больше 0 

    решаем неравенство

    (1/5)^(х² +2х) > (1/25)^(16-х)

             приведём павую часть неравенства к основанию 1/5


    (1/5)^(х² +2х) > (1/5)^2(16-х)

     

    Основание степени 1/5<1, а мы знаем, что показательная ф-ция с основанием меньше 1   - убывающая  = >  значит ф-ция f(x) = 1/5^x    убывающая    = >  


    большему значению ф-ции соответствует меньшее значение аргумента, т.е.

    х² +2х < 2(16-х)

    х² +2х - 32  + 2х < 0

    х² + 4х - 32 < 0


    Исследуем ф-цию f(x) = х² + 4х - 32.  Найдем нули:

    х² + 4х - 32 = 0

    D = 16 + 4*32 = 16 + 128 = 144

    х₁ = (-4 + 12)/2 = 4

    х₂ = (- 4 - 12)/2 = -8

      + - 8 4 +
    ____________о__________________о_______________

      _

    f(x) принимает отрицательные значения на промежутке (4 ; -8)

    Ответ:     (4 ; -8).


  • Решить неравенство: \(\frac{(x+1)^3}{x-3} <0 \)


    Решение: $$ \frac{(x+1)^3}{x-3} <0 $$

    1. Рассмотрим функцию и определим область определения функции

    $$ y=\frac{(x+1)^3}{x-3} \\ x-3 eq 0 \\ x eq 3 \\ D(y)=(-\infty;3)U(3;+\infty) $$

    2. Определяем нули функции

    $$ y=0 \\ \frac{(x+1)^3}{x-3}=0 \\ x+1=0 \\ x=-1 $$

    3. Знаки на промежутки (смотреть во вложения)

    Ответ: $$ (-1;3). $$ frac x x-...

  • Решить неравенство: (1/3) в степени 5+2x>1/27


    Решение: $$ ( \frac{1}{3})^{5+2x}> \frac{1}{27} \\3^{-(5+2x)}>3^{-3}\\-(5+2x)>-3\\5+2x<3\\2x<3-5\\2x<-2\\x<-1 $$
    От - бесконечности до -1
<< < 123 4 5 > >>