степени »

неравенство степень - страница 4

  • Решите неравенство относительно x:
    a) 2x^2 - 6 > 3x^2 -22
    b)x^2 < 8x
    c)x^2 + 25 >= 10x
    >= - знак больше или равно.
    ^ - показатель степени
    ^2 - вторая степень


    Решение: A) 2x²-3x²>-22+6
    -x²>-16
    x²<16
    x₁=-4 x₂=4
     
      + - +
    -------₀--------₀----->x
      -4 4
    -4<x<4
    x∈(-4; 4)

    b) x²-8x<0
    x(x-8)<0
    x₁=0 x₂=8
     
      + - +
    ---------₀----------₀------->x
      0 8
    0<x<8
    x∈(0; 8)

    с) x²-10x+25≥0
    (x-5)²≥0
    x=5
     
      + +
    ------------.---------->x
      5
    x∈(-∞; +∞)

  • Решите неравенство 3(в степени 2x−5)+3(в степени 2x−6)−3(в степени 2x−7)−3( в степени 2x−8) меньше равно 32.


    Решение: Знак не меняем,т.к. основание 3 больше 1.

    $$ 3^{2x-5}*(1+3^{-1}-3^{-2}-3^{-3}) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*(1+ \frac{1}{3}- \frac{1}{9} - \frac{1}{27} ) \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{27+9-3-1}{27} \leq 32 $$
    $$ 3^{2x-5}*\frac{32}{27} \leq 32 $$ - разделим обе части неравенства на 32/27

    $$ 3^{2x-5} \leq 32: \frac{32}{27} $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 27 $$
    $$ 3^{2x-5} \leq 3^{3} $$
    Т.к. основание степени больше 1, то показатели сравниваются с тем же знаком:

    $$ 2x-5 \leq 3 $$
    $$ 2x \leq 8 $$
    \( x \leq 4 \)

    Ответ: x≤4

  • Решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0


    Решение:

    9^x - 3^x - 6 > 0

    3^2x - 3^x - 6 > 0

    замена

    3^x = y

    ОДЗ: у > 0

    y² - y - 6 > 0

    найдём нули функции  f(y) = y² - y - 6

    решим уравнение y² - y - 6 = 0

    D = 1 + 24 = 25

    √D = 5

    y₁ = (1 - 5):2 = -2

    y₁ = (1 + 5):2 = 3

    График функции f(y) = y² - y - 6  квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)

    c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)

    вернёмся к замене

    3^x = 3

    х = 1

    Ответ: х∈(1; +∞)

    $$ 9^x-3^x-6>0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0 $$

    $$ <=> 3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0 $$

    $$ 3^x(3^x+2)-3(3^x+2)>0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0  $$

    Так как $$ 3^x+2 $$ больше нуля при всех значениях x, то нам необходимо только найти при каких значениях x выражение $$ 3^x-3>0 $$. Ее легко решить и получить что x>1

  • Решите неравенство: 2 в степени 10х-16 больше либо равно 16 в степени 2х ))


    Решение: 16=2^3

    значит:

    2^10x-16больше или равно 2^3+2x

    т.к. основания равны, мы имеем право записать это так:

    10x-16 б.или р. 3+2x

    и теперь решаем простое неравенство. переносим все с x в одну сторону без-в другую с противооложными знаками..

    10x-2x б. или р.3+16

    8x б. или р. 19

    x б. или р. 19/8

    и решением неравенства является промежуток: [19/8; + бесконечности]

  • Решите неравенство: 3 в степени 2х+8*9в степени х, -9 больше нуля


    Решение: 1) Тройку в основании представим, как 9:
    $$ 9^x+8*9^x-9>0 $$
    2)-9 и 8 перекидываем в другую часть неравенства:
    $$ 9^x*9^x>9-8 $$
    3)Пользуемся свойством степеней:
    $$ 9^{x+x}>1 \\ 9^{2x+4}>1 $$
    Когда основание равно 1? Когда показатель степени равен 0! Вот и пишем:
    $$ 2x+4>0 \ 2x>-4 \\ x>-2 $$

<< < 234 5 6 > >>