неравенство степень - страница 5
Решите неравенство: (2x+1)-² < (49/16)^-1 или по другому (2х+1) в минус второй степени меньше (49/16) в минус первой степени
Решение:$$ (2x+1)^{-2} < (\frac{49}{16})^{-1}\\\frac{1}{(2x+1)^2} < \frac{16}{49}\\(\frac{1}{2x+1})^2-(\frac{4}{7})^2 < 0\\(\frac{1}{2x+1}-\frac{4}{7})(\frac{1}{2x+1}+\frac{4}{7}) < 0\\\frac{7-4(2x+1)}{7(2x+1)}\cdot \frac{7+4(2x+1)}{7(2x+1)} < 0\\\frac{(-8x+3)(8x+11)}{7^2(2x+1)^2} < 0\\7^2(2x+1)^2 > 0\; pri\; xe -\frac{1}{2}\; \; \Rightarrow \; \; -(8x-3)(8x+11) < 0\\(8x-3)(8x+11) > 0 $$
$$ +++(-\frac{11}{8})---(\frac{3}{8})+++\\x\in (-\infty ,-\frac{11}{8})\cup (\frac{3}{8},+\infty ) $$решить неравенство 9^x-3^x-6>0 (иксы в степенях)
Решение: Замена переменной
$$ 3 ^{x}=t>0, \\ 9^{x}=(3 ^{x}) ^{2} =t ^{2} $$
Решаем квадратное неравенство
t² - t - 6 >0
Уравнение
t² - t - 6 =0
D=1-4(-6)=25=5²
t₁=(1-5)/2=-2 или t₂=(1+5)/2=3
Решением неравенства
t² - t - 6 >0
являются t∈(-∞;-2)U(3;+∞)
можно записать в виде неравенства
t<-2 или t>3
Так как t>0, то решаем только второе неравенство
Возвращаемся к переменной х
$$ 3^{x}>3 $$
х>1
Показательная функция с основанием 3>1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
Решите неравенство:
х^3+9x^2+14x<0
(икс в третей степени плюс 9 икс во второй степени плюс 14 икс меньше нуля)
Решение:Левая часть легко раскладывается на множители:
$$ x^3+9x^2+14x=x(x^2+9x+14)=x(x+2)(x+7) $$
Дальше метод интервалов.
Ответ.
$$ (\infty,-7)\cup(-2,0) $$$$ x^{3} +9 x^{2} +14x<0 \\ x( x^{2} +9 x+14)<0 \\ x(x+2)(x+7)=0 \\ x=0 \\ x+2=0 \\ x=-2 \\ x+7=0 \\ x=-7 \\ \\ $$
- + - +
------------|-------------------|------------------------|---------------------> x
-7 -2 0
Ответ: x∈ $$ (- \infty ;-7) U (-2;0) $$Решить неравенство: 1)2(2x-3)+3(x-2)>=2 2)9x(во второйстепени)+12x+4>0
Решение: 4х-6+3х-6=27х=2+12
7х=14/7
х>=2
1)4х -6 +3х -6>=2
7х>=12+2
7х>=14 \:2
х>=2
Ответ: [2; +бесконечности)
2)9х(во второй степ) +12х+4=0
a=9 b=12 c=4
х= -12
Ответ:(-12; до плюс бесконечности)
Докажите неравенство:a) 12b+8>4b+8(b-0,5)=; б) (b-3)(b+3)>b во второй степени -14=; в) 2x во второй степени+13x+3<(2x+5)(x+4)=
Решение: a) 12b+8>4b+8(b-0,5)
Рассмотрим разность левой и правой части, если она > 0 то неравенство доказано
12b + 8 - 4b- 8(b-0,5) =12b + 8 - 12b + 4 = 12> 0
неравенство доказано
б) (b-3)(b+3)>b^2 - 14
Рассмотрим разность левой и правой части, если она > 0 то неравенство доказано
(b-3)(b+3) - b^2 + 14 = b^2 - 9 - b^2 + 14 = 5>0
неравенство доказано
в) 2x^2 +13x+3<(2x+5)(x+4)
Рассмотрим разность левой и правой части, если она < 0 то неравенство доказано
2x^2 + 13x + 3 - (2x+5)(x+4) = 2x^2 + 13x + 3 - 3x^2 - 13x - 20 = -x^2 - 17 < 0
Так как -x^2<=0, а -17<0 всегда
неравенство доказаноА)12b+8>12b-4
8>4
б)bво втор.ст.-9>bво вт.ст-14
-9>-14
в)2х ввтст+13х+3<2х ввтст+13х+20
3<20
Решить неравенство со степенями: \( 7log_{9}(x^2-x-6) \leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3} \)
Решение: $$ 7log_{9}(x^2-x-6) \leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3} \\ 7log_{9}(x-3)(x+2) \leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3} \\ log_{9}((x-3)(x+2))^7\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ log_{9}\frac{(x-3)^7*(x+2)^7*(x-3)}{(x+2)^7}\leq 8 \\ log_{9}(x-3)^8\leq 8\\ 8log_{9}(x-3)\leq 8\\ log_{9}(x-3)\leq 1\\ x-3 \leq 9\\ x \leq 12 $$
Учитывая ОДЗ которое вы написали
$$ [-6;-2)\ U (3;12] $$
Найдите все положительные х, удовлетворяющие неравенству: \( x^{3x+7} > x^{12} \)
Решение: $$ x^{3x+7} > x^{12} $$
1)
если 0
Система
$$ \left \{ {{0 < x < 1} \atop {3x+7 < 12}} \right. \\ \left \{ {{0 < x < 1} \atop {3x < 5}} \right. \\ \left \{ {{0 < x < 1} \atop {x < \frac{5}{3} }} \right. $$
Решение системы х∈(0;1)
2)
если x>1, показательная функция с основанием x, возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3x+7>12
Система
$$ \left \{ {{x > 1} \atop {3x+7 > 12}} \right. \\ \left \{ {{x > 1} \atop {3x > 5}} \right. \\ \left \{ {{x > 1} \atop {x > \frac{5}{3} }} \right. $$
Решение системы х∈(5/3;+∞)
Ответ. (0;1)U(5/3; +∞)Решите неравенства второй степени: 1)Х^2-5x+4<0 2)-x^2+5x-4
0 5)2x^2+5+3<0 6)3x^2-5x>0 7)2x^2-x-1>0 8)-4x^2+3x+1 \( \leq \)0 9)X^2-6x+9>0 10)4x^2-4x+1\( \geq \)0 11)-9X^2-6x-1<0
Решение: 1)D=25-16=9x1=1
x2=4
(x-1)(x-4)<0. xе(1;4)
2)Разделим нер-во на (-1),получим x^-5x+4>0
D=9,x1=1,x2=4, x e (-∞;1)u(4;+∞)
3)D=16+20=36
x1=5, x2=-1
x e[-1;5]
4) Разделим нер-во на (-1),получим x^2-4x-5<0
D=36
x1=5, x2=-1
x e(-∞;-1)u(5;+∞)
5)D=25-24=1
x1=-3/2, x2=-1
x e(-∞;-3/2)u(-1;+∞)
6)x(3x-5)>0
x1=0, x2=5/3
x e(-∞;0)u(5/3;+∞)
7)D=1+9=9
x1=-1/2,x2=1
x e(-∞;-1/2)u(1;+∞)
8) Разделим нер-во на (-1),получим 4x&2-3x-1>_0
D=9+16=25
x1=-1/4, x2=1
x e(-∞;-1/4]u([1;+∞)
9)D=36-36=0
x1=x2=3
x e(-∞;3)u(3;+∞)
10)D=16-16=0
x1=x2=1/2
x e(-∞;1/2]u([1/2;+∞)
11) Разделим нер-во на (-1),получим 9x^+6x+1>0
D=36-36=0
x1=x2=-1/3
x e(-∞;-1/3)u(-1/3;+∞)
Решить неравенства: 4 в степени х больше 64. 0,3в степени х < 3 целых 1/3
Решение: Эти неравенства решаются одним приёмом: надо уравнять основания. А если равны основания, то равны и показатели.
а) 4^x больше 64 ⇒ 4^x больше 4^3⇒x больше 3 (т.к. 4 больше 1)
б) 0,3 ^x меньше 3 1/3 ⇒ 0,3 ^x меньше 10/3⇒0,3^x меньше 0,3 ^-1⇒
x больше-1 ( т.к. 0,3 меньше 1)4^x>64
4^3=64⇒x>3
0,3^x<3 1/3
x<3Укажите множество решений неравенства 5 в степени 3-4x < 0,2
Решение: 5^3-4х<0,25^3-4x<2/10
5^3-4x<1/5
5^3-4x<5^-1
3-4x<-1
-4x<-1-3
-4x<-4
4x>4
x>1
рисуете числовую прямую
________>
отмечаете выколотую точку 1 и рисуете направление в сторону бесонечности
конечный ответ получается х принадлежит(1;до +бесконечности)
