степени »

степень квадратного корня

  • 1) Найдите дискриминант квадратного трехчлена и укажите количество его корнейа) x² - 2x - 3 б) х² + х + 5
    2) Решите биквадратное уравнения
    х 4(в степени) + 8х² - 9 = 0


    Решение: X^2-2x-3=0
    D=4+12=16
    X1=(2+4)/2=3 x2=(2-4)/2=-1
    Б) x^2+x+5=0
    D=2-20=-18-корней нет
    #2
    X^4+8x^2-9=0
    Пусть x^2=у тогда у^2+8y-9=0
    D=64+36=100 y1=(-8-10)/2=-9 y2=(-8+10)/2=1
    X1=корень из -9- не имеет смысла x2=корень из 1=+-1

     1.x² - 2x - 3
    D=b²-4ac
    D=4-4*1*(-3)=16
    т к дискриминант число положительное то трехчлен имеет 2 корня
    х² + х + 5
    D=1-4*1*5=-19
    т к D<0 то корней нет
    2.х^4+ 8х² - 9 = 0
    пусть y=x² тогда y²=x^4
    y²+8y-9=0
    D=64-4*1*(-9)=100
    y = -b±√D/2a
    y = -8±10/2
    y1=1; y2=-9
    итак, x²=1 x²=-9 неверно!
      ответ: 1

  • Алгебра 8 класс. Пусть х1 и х2-корни квадратного уравнения х* +2х-5=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/х1 и 1/х2. (*-вторая степень /-дробная черта.)


    Решение: Всё решается очень просто. Применяется теорема Виета для первого уравнения (это есть в любом учебнике математики) 
    х(квадрат)+5х-7=0 
    х1*х2=-7 
    х1+х2=-5 
    Если надо составить уравнение с корнями 1/х1 и 1/х2, то надо сделать несколько преобразований: 
    Если х1*х2=-7, то применяя теорему Виета уже для второго уравнения, получаем, что (1/х1)*(1/х2)=-1/7 
    Тоже самое если сложить два корня: 
    (1/х1)+(1/х2)=(х1+х2)/(х1*х2)=-5/(-7)=5/7 
    Значит уравнение вот такое a^2-(5/7)a-(1/7)=0 
    Можно последнее уравнение умножить на 7, чтобы были целые коэффиценты. 
    Вот и всё решение.

    по т.Виета:

    x1+x2=-b

    x1*x2=c;

    (1/x1)*(1/x2)=1/(x1*x2)=-1/5

    1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1*x2)=-5*(x1+x2)=-5*(-2)=10

    Ответ: x²+10x-1/5=0

  • 81 в степени log по основанию 3 квадратного корня из 17


    Решение: 81=3 в 4 степени.

    При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

    Возведём сначала 3 в степень log по основанию 3 квадратный корень из 17. Т.к. основание степени и логарифма одинаковые, то по основному свойству логарифмов это равно - корень из 17.

    Теперь корень из 17 возведём в 4 степень. Получим 17², это равно 289.

    Ответ: 289. 

  • Корни многочлена 4-степени p(x), их в данном случае 4,составляют арифметическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени. (это значит что его можно представить при помощи только рациональных чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число )тоже представимы в радикалах 2 степени,если они существуют. при условии что все коэфициенты многочлена представимы в рад 2 степени.


    Решение: $$ p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5} \\ x=\sqrt{x_{1}} \\ x=\sqrt{x_{1}}+b \\ x=\sqrt{x_{1}}+2b \\ x=\sqrt{x_{1}}+3b \\ p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a \\ y=\sqrt{y_{1}} \\ y=\sqrt{y_{2}} \\ y=\sqrt{y_{3}} \\ y=\sqrt{y_{4}} $$

    По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение
    $$ 4\sqrt{x_{1}}+6b = -\frac{a_{2}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)+\sqrt{x_{1}} \\ (\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+3b)+(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+...=\\= \frac{a_{3}}{a_{1}}\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+2b) \\ (\sqrt{x_{1}}+3b).........=-\frac{a_{4}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b) \\ (\sqrt{x_{1}}+3b)=\frac{a_{5}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}=-\frac{a_{2}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}}+\sqrt{y_{1}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{4}}+\sqrt{y_{2}y_{3}}...+ = \frac{a_{3}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}} $$

    $$ \left\{ {4\sqrt{x_{1}}+6b=\sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}} \atop {\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)(\sqrt{x_{1}}+3b)-\sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a} \right. $$
    Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах, то сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное . 
      По третьем равенству первой системы $$ \sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad $$ , то произведение корней так же число радикальное, откуда с последних двух идет верное равенство

  • №1 Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см квадратных.
    №2 Один из корней уравнения Х(во второй степени)+11х+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.


    Решение: Пусть 1 сторона прямоугольника равна х, а вторая y. Составим систему уравнений:

    2*(x+y)=30

    x*y=56

    Решим систему уравнений:

    x+y=15

    x*y=56

    x=15-y

    x*y=56

    (15-y)*y=56

    15y-y^2=56

    -y^2+15y-56=0

    y^2-15y+56=0

    Решим квадратное уравнение.

    Найдем дискриминант:

    D=b^2-4ac=(-15)^2-4*1*56=1

    Квадратный корень из D =1

    y1=(-b-корень из D)/2a= (-(-15)-1)/(2*1) = 7

    y2=(-b+корень из D)/2a= (-(-15)+1)/(2*1) = 8

    Тогда:

    x1=15-y1=15-7=8

    x2=15-y2=15-8=7

    Ответ: x1=8, y1=7; x2=7, y2=8.

  • №1. Один из корней уравнения 3x*-21x+q=0 меньше другого на 1. Найдите свободный член q. №2. Составьте квадратное уравнение корни которого равны:-2 и -1/2 №3. решить уравнения 0.6x+2x*=0; 2x*-3x-2=0; x*+2x-4=0. №4. Определить значения y ,при которых верно равенство: y*+10 2y+5 _____ - _____= 20 10 2 *- степень квадрата


    Решение: 1)  x*-7x+q=0 p=7, q-? по теореме Виета: a+b=7, ab=q, a-b=1-> a=3, b=4-> q=12

    2)a=-2 и b=-1/2из теоремы Виета: a+b=3.5, ab=

    вид уравнения: x^2+3.5x+1=0

    3)a)2x*+0.6x=0

    x1=0; x2=-0.3

     b)2x*-3x-2=0

    x1=2 x2=3

    c) x*+2x-4=0

    x1=1/4 x2=4

    4) 1/5 и 2,5

  • 1) Решить неравенство используя метод Интервалов: (х+9)(х-5)>0 2)решить биквадратное уравнение: х в четвёртой степени -13в квадрате+36=0 3)решить уравнение: х в кубе - 36х=0 4)при каких значениях t уравнение 2х в квадрате + t +2=0 имеет 2корня


    Решение: 1)(х+9)(х-5)>0

    1.x+9=0

    x=-9

    2.x-5=0

    x=5

      + - +

    ---- -9 ----- 5 ---->x

    xE(-∞)U(5;+∞)

    2)$$ x^4-13x^2+36=0\\x^2=t\\t^2-13t+36=0\\d=169-4*36=25\\t_1=4\\t_2=9\\1)x^2=4\\x=б2\\x^2=9\\x=б3 $$

    3)$$ 2x^2+ t +2=0 $$ -2 корня значит d>0

    $$ d=t^2-4*2*2=t^2-16\\t^2-16>0\\t^2>16\\t=б4 $$

      + - +

    ---- -4 ---- 4 ----->x

    xE(-∞;-4)U(4;+∞)

  • 1) квадратный корень 1-3х=22)квадратный корень 6х-1=1
    3)квадратный корень х во второй степени -256=12
    4)квадратный корень 625-х во втоорой степени=15
    решите на до используя определение квадратного корня рещить уравнения)


    Решение: 1)квадратный корень 1-3х=2
       V1-3x = 2
       1-3x = 2^2
       1-3x = 4
       -3x = 4-1
       -3x = 3
       x = -1
    ---------------------------------
     V1-3*(_1) = 2
     V1 + 3 = 2
     V4 = 2
       2 = 2

    2)квадратный корень 6х-1=1
       V6x-1 = 1
       6x-1 = 1^1
       6x-1=1
       6x = 1+1
       6x = 2
       x = 2/6  ili x = 1/3
    --------------------------------------
        V6*1/3-1 = 1
        V6/3-1 = 1
       V2-1 = 1
       V1 = 1


    3)квадратный корень х во второй степени -256=12
    Vx^2-256 = 12
    x^2-256 = 12^2
    x^2-256 = 144
    x^2 = 144+256
    x^2= 400  /:v
    x = (+)(-) 20
    --------------------------------------
    V20^2-256 = 12
    V400-256 = 12
    V144 = 12
      12 = 12


    4)квадратный корень 625-х во втоорой степени=15
    V625-x^2 = 15
    625-x^2 = 15^2
    625-x^2 = 225
    x^2 = 225-625
    x^2 = -400  / : V
    x = 20
    ---------------------------------
    V625-20^2 = 15
    V625-400 = 15
    V225 = 15
      15 = 15


  • Решите: 1. Определите число корней квадратного уравнения 2х²+х+5=0 2. Решите квадратное уравнение: а)х²-11х-42=0

    б)-2х²-5х-2=0 в)х(в четвёртой степени)-13х²+36=0


    Решение: 1)корней нет, т.к дискриминат меьше ноля

    2)2x2+5x+2=0

      D=3

      x1=-1/4

    x2= -1

    3)x2=y

    y-13y+36=0

    D=5

    y1= 9

    y2=4

    x2=9 x2=4

    x=3;-3 ч=2;-2

    1.D=1-40=-39 D<0 корней нет

    a)D=121+198=289

    x1=-1, x2=12 

    b)D=25-16=9

    x1=-2, x2=-1/2

    в)x^4=0, т.е.х1=0

    -13х^2+36=0

    13x^2-36=0

    x^2=36/13

    x2=-6/корень из 3

    х3=6/корень из 3 

  • Корни многочлена 4-степени p(x), их в данном случае 4, составляют арифметическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени.(это значит что его можно представить при помощи только рац чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число ) тоже представимы в радикалах 2 степени, если они существуют. при условии что все коэфиценты многочлена представимы в рад 2 степени.


    Решение: $$ p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5}\\ x=\sqrt{x_{1}}\\ x=\sqrt{x_{1}}+b\\ x=\sqrt{x_{1}}+2b\\ x=\sqrt{x_{1}}+3b\\\\ p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a\\ y=\sqrt{y_{1}}\\ y=\sqrt{y_{2}}\\ y=\sqrt{y_{3}}\\ y=\sqrt{y_{4}}\\\\ $$
    По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение
    $$ 4) \sqrt{x_{1}}+6b = -\frac{a_{2}}{a_{1}}\\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)+\sqrt{x_{1}} \ (\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+3b)+(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+.=\frac{a_{3}}{a_{1}}\\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+2b) \ (\sqrt{x_{1}}+3b).=-\frac{a_{4}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b) \ (\sqrt{x_{1}}+3b)=\frac{a_{5}}{a_{1}}\\\\ \sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}=-\frac{a_{2}}{a_{1}}\\ \sqrt{y_{1}y_{2}}+\sqrt{y_{1}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{4}}+\sqrt{y_{2}y_{3}}.+ = \frac{a_{3}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}} \\ \left \{ {{4\sqrt{x_{1}}+6b=\sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}} } \atop {\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)(\sqrt{x_{1}}+3b)-\sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a}} \right. $$
    Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах, то сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное. 
      По третьем равенству первой системы $$ \sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad $$, то произведение корней так же число радикальное, откуда с последних двух идет верное равенство