решение уравнений »

решить через теорему Виетта - страница 2

  • Теорема Виета
    1) Дано квадратное уравнение x2−4x+5,4=0, укажи сумму и произведение корней.
    x1+x2= x1⋅x2= 2)
    Корнями квадратного уравнения x2+Vx+N=0 являются −7 и 5.
    Чему равны коэффициенты V и N?
    (первым впиши наибольший коэффициент)

    V= N=
    Ответ:
    3) Разложение на множители.
    Не решая уравнение x2+8x+4x+32=0, определи имеет ли оно корни.
    1. имеет корни
    2. не имеет корней
    4) Корни квадратного уравнения.
    Не используя формулу корней, найди корни квадратного уравнения x2+22x+57=0
    (Корни запиши в убывающем порядке)
    Ответ:
    x1=
    x2=
    5) Составление квадратного уравнения
    Составь квадратное уравнение, корнями которого являются числа
    x1=−2;x2=−20, при этом коэффициент a=1.
    Ответ: x2+( 1 )x+( 2 )=0.
    1-тото число 2-тото число
    6) Разложение на множители квадратного трёхчлена
    Разложи на множители квадратный трёхчлен x2+15x+36.
    (Первым вводи наибольший корень квадратного уравнения)
    Ответ: x2+15x+36=(x+ 1 )⋅(x+ 2 ) 1-тото число 2-тото число
    7) Сокращение дроби
    Сократи дробь x+9 дробь x2+24x+135


    Решение: $$ 1) \ x^2-4x+5,4=0\\\\ (x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 =\\\\= x^2 + (-x_1 - x_2)x + x_1x_2\\\\ x_1 + x_2 = -b = 4, \ x_1x_2 = c = 5,4 \\ 2) \ x^2 + Vx + N = 0\\\\ x_1 = -7, \ x_2 = 5\\\\ N = x_1*x_2 = (-7)*5 = -35\\\\ V = -x_1 - x_2 = 7 - 5 = 2\\\\ x^2 + 2x - 35 = 0 \\ 3) \ x^2+8x+4x+32=0\\\\ x^2 + 12x + 32 = 0\\\\ (x + 6)^2 - 4 = 0 $$
    Ветви параболы направленны верх, а при x = -6 она лежит ниже оси Абсцисс, следовательно у неё есть два корня.
    $$ 4) \ x^2+22x+57 = x^2 + 22x + 121 - 64 = (x + 11)^2 - 8^2 =\\\\= (x + 11 - 8)(x + 11 + 8) = (x + 3)(x + 19) = 0\\\\ x = -3, \ x = -19 \\ 5) \ x_1=-2, \ x_2=-20, \ a=1\\\\ ax^2 + a(-x_1-x_2)x + ax_1x_2 = 0\\\\ x^2 + 22x + 40 = 0 \\ 6) \ x^2+15x+36 = 0\\\\ D = 15^2 - 4*36 = 225 - 144 = 81 = 9^2\\\\ x_1 = \frac{-15 + 9}{2} = -3\\\\ x_2 = \frac{-15 - 9}{2} = -\frac{24}{2} = -12\\\\ x^2+15x+36 = (x + 3)(x + 12) \\ 7) \ \frac{x + 9}{x^2 + 24x + 135} =\\= \frac{x + 9}{x^2 + 9x + 15x + 15*9} = \frac{x + 9}{x(x + 9) + 15(x + 9)} =\\= \frac{x + 9}{(x + 9)(x + 15)} = \frac{1}{x + 15} $$

  • 1) Решите неполные квадратные уравнения.
    а) 24х-х2=0
    б) 81х2=100
    2) Решите уравнения.
    а) 3x2-7x-6=0
    в)2x2+6х+7=0
    с) (х+4)2=3x+40
    3) Разложите квадратный трёхчлен на множители.
    а) х2+9х+20
    б) 4х2+7х-2
    Решите уравнения, применяя теорему, обратную т. Виета.
    х2-16х+63=0
    4) Решите задачу.
    Периметр прямоугольника 28 см. Найти его стороны, если площадь прямоугольника 33 см2
    5) Один из корней уравнения
    х2+10х+р=0 равен -12.
    Найти другой корень и р.


    Решение: 1)
    A)24x-x2=0
    X(24-x)=0
    X=0 ili 24-x=0
    24=x
    X=24
    B)81x2=100
    X2=100/81
    X=10/9
    X=1 1/9
    2)
    A)3x2-7x-6=0
    D=7^2-4*3*(-6)=121
    X1=(7+11)/6=3
    X2=(7-11)/6=-2/3
    B)2x2+6x+7=0
    D=6^2-4*2*7=-20
    D<0
    C)(x+4)^2=3x+40
    X^2+8x+16=3x+40
    x2+8x-3x+16-40=0
    X2+5x-24=0
    D=25-4*1*(-24)=121
    X1=(-5+11)/2=3
    X2=(-5-11)/2=-8
    4)
    X-shirina
    Y-dlina
    Sostovlyaem sistemu
    (X+y)*2=28
    X*y=33
    Reshaem
    2x+2y=28; x+y=14; x=14-y
    Podstavlyaem
    (14-y)*y=33
    14y-y2-33=0|:(-1)
    Y2-14y+33=0
    D=14^2-4*1*33=64
    X1=(14+8)/2=11
    X2=(14-8)/2=3

  • Числа 1 и 2 яв-ся корнями многочлена х3-4х2+ах+b. Найдите числа а,b и третий корень. Здесь нужно использовать т. Виета и табл. Горнера.


    Решение: Раз 1 и 2 являются корнями многочлена, то при подстановке этих значений вместо переменной х, будем получать ноль.
    х=1, 1-4+а+в=0,    а+в=3
    ч=2, 8-16+2а+в=0, 2а+в=8
    Вычтем из 2-го уравнения 1-ое, получим а=5 и 5+b=3 ->b=-2

    $$ (1)^3-4*(1)^2+a+b=0\\ (2)^3-4*(2)^2+2a+b=0\\ \\ a+b=3\\ 2a+b=8\\ \\ a=3-b\\ 2(3-b)+b=8\\ 6-b=8\\ b=-2\\ a=5\\ $$

<< < 12