решение уравнений »

произведение действительных корней уравнения

  • Что значит "сумма и произведение действительных корней квадратного уравнения" и как найти сумму действительных корней уравнения:

    $$ (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 120 $$


    Решение: Можно раскрыть скобки и получить уравнение 4 степени, которое решить будет трудно. Упростим себе задачу таким образом: обозначим первую скобку новой переменной:

     x²+5x+4=t, ⇒ x²+5x=6=(x²+5x+4)+2=t+2

    t * (t+2)=120, t²+2t-120=0, D=4+4*120=484, √D=22, t₁=-12, t₂=10

    x²+5x+4=-12, x²+5x+16=0, D=25-64=--39<0 ⇒ нет действительных решений

    x²+5x+4=10, x²+5x-6=0, D=25+24=49>0 ⇒ есть два действительных корня, √D=7, x₁=-6, x₂=1

    Сумма действительных корней х₁+х₂=-6+1=-5

  • Найдите произведения действительных корней уравнения $$ ( x^{2} +x+1)*( x^{2} +x+2)=12 $$


    Решение: Замена переменной
    х² + х + 1= t
    x² + x + 2= t+1
    t(t+1)=12
    t²+t-12=0
    D=1-4·(-12)=1+48=49=7²
    t=(-1-7)/2=-4  или  t=(-1+7)/2=3
    Возвращаемся к переменной х
    1)х² + х + 1= -4
    х² + х + 5= 0
    D=1-4·5<0  уравнение не имеет корней
    2)х² + х + 1= 3
    х² + х -2= 0
    D=1-4·(-2)=9=3²
    По теореме Виета произведение корней равно свободному коэффициенту (-2)
    Ответ. -2

  • Найдите произведение действительных корней уравнения: $$ y^{4} - 2y^{2} - 8 = 0 $$


    Решение: Действительными корнями этого биквадратного уравнения есть у=+2 и -2, произведение этих двух чисел даст $$ -4 $$

    $$ y^4-2y^2-8=0 $$
    $$ (y^2-4)(y^2+2)=0 $$
    для любого действительного y: $$ y^2+2 > 0 $$ (коэфициент при $$ y^2 $$ a=1>0 - ветви параболы направлены вверх, дискриминант $$ D=0^2-4*1*2 < 0 $$ - следовательно график выше оси Ох) и тогда на множестве действительных чисел уравнение равносильно уравнению $$ y^2-4=0 $$
    $$ y^2=4 $$
    $$ y_1=2;y_2=-2 $$
    $$ y_1*y_2=2*(-2)=-4 $$
    ответ: -4

  • Найдите произведение действительных корней уравнения (x+1/x-3)*(x+1/x+2)=-4


    Решение: Решение в приложении

    (x+1)/(x-3)*(x+1)/(x+2)=-4
    x≠3,x≠-2
    (x+1)²=-4(x-3)(x+2)
    x²+2x+1+4x²-4x-24=0
    5x²-2x-23=0
    D=4+460=464>0
    по теореме Виета
    x1*x2=-23/5=-4,6

    Решение в приложении x x- x x - x x - x - x- x x x x - x- x - x- D по теореме Виетаx x - -...

  • Найдите произведение всех действительных корней уравнения (4x^2-7x-5)(5x^2+13x+3)(3x-x^2-8)=0


    Решение: (4x^2-7x-5)(5x^2+13x+3)(3x-x^2-8)=0

    1) 4x^2-7x-5=0

      D=b^2-4ac=129

      x1,2=(-b±√D)/2a=(7±√129)/8


    2) 5x^2+13x+3=0

      D=b^2-4ac=109

      x1,2=(-b±√D)/2a=(-13±√109)/10


    3) 3x-x^2-8=0

      D=b^2-4ac=-23 - нет решений

  • При каких значениях параметра а сумма действительных корней уравнения ax^2+x-8a+4=0 меньше 1, а произведение больше а?


    Решение: x₁+x₂<1

    x₁x₂>a

    по теореме Виета:

    x₁+x₂=-1/a

    x₁x₂=(-8a+4)/a

    -1/a<1

    -a

    a²+a>0

    a(a+1)>0

    a∈(-∞,-1)u(0,∞)

    (-8a+4)/a>a

    a(-8a+4)>a³

    -8a²+4a>a³

    a³+8a²-4a<0

    a(a²+8a-4)<0

    a=0

    a²+8a-4=0

    Δ=8²-4*1*(-4)

    Δ=64+16

    Δ=80

    √Δ=4√5

    a₁=(-8-4√5)/(2*1)

    a₁=-4-2√5

    a₂=(-8+4√5)/(2*1)

    a₂=-4+2√5

    a∈(-∞,-4-2√5)u(0,-4+2√5)

    a∈((-∞,-4-2√5)u(0,-4+2√5))n((-∞,-1)u(0,∞))

    a∈(-∞,-4-2√5)u(-4+2√5,∞)