действительные корни
Найдите действительные корни многочлена x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3
Решение: Действительные корни многочлена находятся среди делителей свободного члена, т.е. 3 это числа 1: -1 : 3 : -3
подставляете их в данное уравнение и если это число обращает выражение в ноль, то оно и является действительным корнем
$$ x^{5} +3 x^{4}-3 x^{3}- x^{2} -3x+3=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3 x^{3}(x-1)-3(x-1)=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3(x-1)( x^{3}-1 )=\\=( x^{2} +3x-3)( x^{3}-1 ) $$
1 решение: x1=1
2 и 3 решение :
x^{2} +3x-3=0
$$ D= 3^{2} -4*1*(-3)=21 $$
$$ x_{2}= \frac{-3+ \sqrt{21} }{2} $$
$$ x_{3}= \frac{-3- \sqrt{21} }{2} $$Найти действительные корниx^2 (3x+1)-(x^2+1)^2=3
Решение: $$ x^2(3x+1)-(x^2+1)^2=3 $$
$$ x^2(3x+1)-(x^2+1)^2-3=0 $$
Раскрываем скобки
$$ x^2(3x+1)-(x^4+2x^2+1)-3=0 \\ 3x^3+x^2-x^4-2x^2-1-3=0 \\ x^4-3x^3+x^2+4=0 $$
Разложим одночлены в сумму нескольких
$$ x^4-2x^3-x^3+2x^2-x^2+2x-2x+4=0 $$
$$ x^3(x-2)-x^2(x-2)-x(x-2)-2(x-2)=0 \\ (x-2)(x^3-x^2-x-2)=0 $$
Каждое произведение равно нулю
$$ x-2=0 \\ x=2 $$
$$ x^3-x^2-x-2=0 \\ x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0 \\ x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0 \\ (x-2)(x^2+x+1)=0 $$
$$ x-2=0 \\ x=2 $$
$$ x^2+x+1=0 \\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot1=-3 \\ D<0 $$
Ответ: 2.X^2 (3x+1)-(x^2+1)^2=3
x^2 (3x+1)-(x^2+1)^2-3=0
3x³+x²-x^4-2x²-1-3=0
x^4-3x³+x²+4=0
Корнем может быть делитель свободного члена 4:+-1;+-2;+-4
Проверим 2: 16-24+4+4=0
x^4-3x³+x²+4 /х-2
x^4-2x³ x³-x²-x-2 / x-2
_______ x³-2x² x²+x+1
-x³+x² ______
-x³+2x² x²-x
________ x²-2x
-x²+4 _____
-x²+2x x-2
________ x-2
-2x+4 _____
-2x+4 0
______
0
(x-2)²(x²+x+1)=0
x=2
x²+x+1=0
D=1-4=-3<0-нет решения
Ответ х=2Найти все действительные корни:
$$ 2x^{4}+3x^{3}-8x^{2}-9x+6=0 $$
Решение: Можно данное уравнение решить по схеме Горнера (упростив до квадратного и найти корни через дискриминант) или же разложив на:(x+2)(2x-1)(x^2-3)=0
Отсюда корни легко находятся
2x^4+3x^3-8x^2-9x+6=0
это симметричное ур-ие, но я решу по-другому
сгруппирую и разложу на множители
(x+2)(2x-1)(x^2-3)=0
3 случая:
x+2=0
x=-2
2x-1=0
2x=1
x=1/2
x^2-3=0
x^2=3
x=±√3
ОТВЕТ: -2; 1/2; -√3; √3
При каких значениях параметра b уравнение 5(b+4)x^2-10x+b=0 имеет действительные корни одного знака?
Решение: $$ 5(b+4)x^2-10x+b=0, \\ D_1=(-5)^2-5(b+4)b=25-5b^2-20b, \\ D \geq 0, \ -5b^2-20b+25 \geq 0, \\ b^2+4b-5 \leq 0, \\ b_1=-5, \ b_2=1, \\ (b+5)(b-1) \leq 0, \\ -5 \leq b \leq 1; \\ x=\frac{5\pm\sqrt{-5b^2-20b+25}}{5(b+4)}, \\ b+4 eq 0, \ b eq -4; $$
$$ \left [ {{ \left \{ {{5-\sqrt{-5b^2-20b+25}<0,} \atop {5+\sqrt{-5b^2-20b+25}<0,}} \right. } \atop { \left \{ {{5-\sqrt{-5b^2-20b+25}>0,} \atop {5+\sqrt{-5b^2-20b+25}>0;}} \right. }} \right. \left [ {{ \left \{ {{\sqrt{-5b^2-20b+25}>5,} \atop {\sqrt{-5b^2-20b+25}<-5,}} \right. } \atop { \left \{ {{\sqrt{-5b^2-20b+25}<5,} \atop {\sqrt{-5b^2-20b+25}>-5;}} \right. }} \right. $$
$$ \left [ {{ \left \{ {{-5b^2-20b+25>25,} \atop {b\in\varnothing,}} \right. } \atop { \left \{ {{-5b^2-20b+25<25,} \atop {-5b^2-20b+25\geq0;}} \right. }} \right. \left [ {{ b\in\varnothing,} \atop { \left \{ {{-5b^2-20b<0,} \atop {b^2+4b-5\leq 0;}} \right. }} \right. \left \{ {{(b+4)b>0,} \atop {(b+5)(b-1)\leq0;}} \right. \left \{ {{ \left[ {{b<-4,} \atop {b>0,}} \right. } \atop {-5 \leq b \leq 1;}} \right. $$
$$ \left[ {{-5\leq b<-4,} \atop {0\ < \ b \leq 1.}} \right. \\ b\in[-5;-4)\cup(0;1] $$
При каких значения параметра а уравнение (a-3)x^2-4x-2a=0 имеет:а) действительные корни
б) действительные корни одного знака
в) действительные корни разных знаков
Решение: А)
1)a=3
-4x-6=0
-4x=6
x=-1,5
2)a≠3
D=16+8a(a-3)=16+8a²-24a≥0
a²-3a+2≥0
a1+a2=3 U a1*a2=2⇒a1=1 U a2=2
a∈(-∞;1) U [2;∞)
б)
1)x1+x2>0 U x1*x2>0
x1+x2=4/(a-3) U x1*x2=-2a/(a-3)
4/(a-3)>0⇒a-3>0⇒a>3
-2a/(a-3)>0⇒2a/(a-3)<0
a=0 a=3
0<a<3
нет решения
2)x1+x2<0 U x1*x2>0
a<3 u 0<a<3
a∈(0;1) U [2;3)
в)x1*x2<0
-2a/(a-3)<0
2a/(a-3)>0
a<0 U a>3
a⇒(-∞;0) U (3;∞)(10х-4)(3х+2)= 0; корень 8 * корень 5 * корень 10; х^3=81, указать число действительных корней
Решение: 1)(10x-4)(3x+2)=010x-4=0
x=2/5
3x+2=0
x=-2/3
2)
√8*√5*√10=√40*10=20
3)
x^3=81
x=log(3)81 один
1)10х-4=0 3х+2=0
х=0,4 х=-2/3
2)корень8* корень5*корень10=корень 400=20.
3)
х"3=81
один действительный корень.
Найдите действительные корни многочлена x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3
Решение: Действительные корни многочлена находятся среди делителей свободного члена, т. е. 3 это числ 1: -1 : 3 : -3
подставляете их в данное уравнение и если это число обращает выражение в ноль то оно и является действительным корнем
$$ x^{5} +3 x^{4}-3 x^{3}- x^{2} -3x+3=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3 x^{3}(x-1)-3(x-1)=\\= x^{2} ( x^{3}-1)+3(x-1)( x^{3}-1 )=( x^{2} +3x-3)( x^{3}-1 ) $$
1 решение: x1=1
2 и 3 решение : $$ x^{2} +3x-3=0 \\ D= 3^{2} -4*1*(-3)=21 \\ x_{2}= \frac{-3+ \sqrt{21} }{2} \\ x_{3}= \frac{-3- \sqrt{21} }{2} $$Найдите действительные корни многочлена 3x^4-x^2-2
Решение: . ответ:
действительные корни
х = 1 и х = - 1
во втором случае действительных корней нет
-
