неравенства »

найдите целочисленное решение неравенства - страница 2

  • Найдите количество целочисленных решений неравенства : log 3x-1 по основанию 2<или = 3


    Решение: Найдите количество целочисленных решений неравенства :

    $$ log_2(3x-1) \leq 3 $$

    Решение:
    ОДЗ: 3х-1>0
      $$ x > \frac{1}{3} $$
      
    $$ log_2(3x-1) \leq 3 $$

    $$ log_2(3x-1) \leq log_2(2^3) $$

    $$ log_2(3x-1) \leq log_2(8) $$

    3x - 1 ≤ 8
       3x ≤ 9
       x ≤ 3
    Также по ОДЗ значения х должны быть больше 1/3.
    Поэтому неравенство истинно для всех значений х ∈(1/3;3]
    Неравенство имеет три целых решения это числа 1, 2, 3.

    Ответ: 3 целочисленных решения.

  • Найдите количество целочисленных решений неравенства( x^2+x-6)/(1+ctg^2(πx/2))≤0


    Решение: Очевидно, знаменатель дроби всегда положителен, поэтому дробь неположительна тогда и только тогда, когда неположителен числитель. Кроме того, не стоит забывать, что ctgy=cosy/siny, поэтому sin(πx/2)<>0, откуда следует πx/2<>πk, x<>2k, где k - некоторое целое число, то есть x не может быть чётным числом, иначе произойдёт деление на 0.

    Теперь решим неравенство x^2+x-6<=0, (x-2)(x+3)<=0, значит, x может быть целым числом из отрезка [-3;2]. Но чётные числа нам не подходят, а нечётных на этом отрезке 3.

  • Найдите сумму целочисленных решений неравенства:log₃*(x-3) ≤ 1- log₃*(x-1)


    Решение: $$ log_{3} (x-3) \leq 1-log_{3}(x-1) $$

    ОДЗ
    $$ \left \{ {{x-3 > 0} \atop {x-1 > 0}} \right. \\ \ \left \{ {{x > 3} \atop {x > 1}} \right. \\ \ x > 3 \\ (3; \infty) $$

    Решение:
    $$ log_{3}(x-3) \leq 1-log_{3}(x-1) $$

    $$ log_{3}(x-3)+log_{3}(x-1) \leq 1 \\ \ log_{3}((x-3)(x-1)) \leq 1 \\ \ log_{3}( x^{2} -4x+3) \leq 1 \\ \ log_{3}( x^{2} -4x+3) \leq log_{3}3 \\ \ x^{2} -4x+3 \leq 3 \\ \ x^{2} -4x \leq 0 \\ \ x=1 \\ x=4 $$
    $$ [1;4] $$

    Пересекаем с ОДЗ и получаем область: (3;4]
    В данном случае целое число только 4 => оно и является ответом.

    Ответ: 4

  • Найдите количество однозначных целочисленных решений неравенства Log3(2x - 5) > 2


    Решение: $$ log_3(3x-5) > 2 \\ 3x-5 > 0\rightarrow 3x > 5\rightarrow x > 1 \frac{2}{3}\rightarrow x\in(1 \frac{2}{3};+\infty) \\ log_3(3x-5) > log_39 \iff 3x-5 > 9 \rightarrow 3x > 14\rightarrow x > 4 \frac{2}{3} \\ \underline{x\in(4 \frac{2}{3};+\infty) } $$

    $$ log_3(2x-5) > 2 \\ 3 > 1= > log_3(2x-5) > log_39\\ \left \{ {{2x-5 > 9} \atop {2x-5 > 0}} \right.\\ \left \{ {{2x > 14} \atop {2x > 5}} \right.\\ \left \{ {{x > 7} \atop {x > 2,5}} \right. = > x > 7 $$

    Выполняем требование задачи. В множестве решений неравенства определяем однозначные числа {8;9} и в ответ записываем их количество.

    Ответ: 2 числа



<< < 12