степени » степени с одинаковыми основаниями
  • Вычислите наиболее рациональным способом:
    (17,31²-12,69²)-(29,81²-0,19²)
    И какие свойства степеней? Выполнить вычисление, если основания одинаковые, а степени разные и т.


    Решение: Можно так (по формулам сокращенного умножения)
    (17,31-12,69)(17,31+12,69)-(29,81-0,19)(29,81+0,19)=
    =4,62*30-29,62*30=30(4,62-29,62)=30*(-25)=-750

    a²-b²=(a-b)(a+b)

    $$ a^0=1 \\ a^m*a^n=a^{m+n} \\ a^m:a^n=a^{m-n} \\ a^{-n}= \frac{1}{a^n} \\ (a^m)^n=a^{mn} \\ ( \frac{a}{b})^{-m }=( \frac{b}{a} )^m \\ (a*b)^m=a^m*b^m \\ a^ \frac{1}{n}= \sqrt[n]{a} \\ ( \frac{a}{b} )^m= \frac{a^m}{b^m} \\ a^ \frac{m}{n}= \sqrt[n]{a^m} $$

  • Надо ответить на вопросы:
    1. Что называется алгебраической дробью?
    2. Что такое тождество?
    3. Что называется степенью с натуральным показателем n?
    4. Что называют допустимым значеним дроби?
    5. Что значит решить уравнение?
    6. Что называют сокращением дробей?
    7. Первое свойство алгебраической дроби.
    8. Алгаритм умножения алгебраической дроби.
    9. Второе свойство алгебраической дроби.
    10. Правило сложения алгебраических дробей.
    11. Объясните выражение: "многочлен-целое выражение"
    12. Алгоритм вычисления дробей?
    13. Алгоритм отыскания общего знаминателя.
    14. Свойства степеней с одинаковым основанием.



    Решение: 1)Алгебраической называют дробью.
    2)Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно
    3)
    число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
    4)
    Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1. 
    5)
    Решить уравнение - значит найти все его корни или установить, что их нет. 
    6)Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от  
    единицы, называют сокращением дроби.  
    7)
    при умножении ( делении ) числителя и знаменателя на одно и то же выражение ( число) получившаяся дробь = исходной
    8)
    числители перемножаются отдельно 
    отдельно знаменатели 
    полученную дробь если это возможно сокращают 
    пример 
    2/3* 3/4 = (2*3)/(3*4)=6/12=1/2 (произвели сокращение на 6
    9)Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
    10)
      Сложение и вычитание алгебраических дробей c одинаковыми  
    знаменателями выполняется по тому же правилу, что и с обыкновенными  
    дробями:  

      аd + bd – cd   = a+b−cd .  
    11)  Нам известно, что дробь   34   равна частному   3 : 4 ,  

    значит, выражение   (1415) : (13− 16)
       = (1415)(13− 16) . 



      Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления  
    обозначен чертой, называют дробным выражением. 


      Найдем значения выражений:  

      а)   (1415)(13− 16)
       =   (520420)(26− 16)   =   920)16)   =     920   : 16   = 


      =   920• 61   =   5420   =   2 710   = 2,7 
    12)
    Пусть a0 и a1 - натуральные числа. Для нахождения их наибольшего общего делителя используется алгоритм Евклида [1] последовательного деления с остатком: a0=a0a1+a2,    a1=a1a2+a3,    a2=a2a3+a4, … ,где натуральные числа a0,a1,a2, … суть неполные частные. Это алгоритм разложения числа a =a0/a1 в правильную цепную дробь, и он применим к любым вещественным числам a. При этомa0=[a], где [a] - целая часть числа a, a1=[1/(a-a0)], … , т.е. 
    a=a0+ 1a1+ 1a2+ 1a3+  ···,
    14)Складываются показатели степеней при УМНОЖЕНИИ степеней с одинаковыми основаниями. 
    2^3+2^5=8+32=40.

    ТОЖДЕСТВО, отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как ’’одно и то же’’ ’’предельный’’ случай отношения равенства. В математике тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.
    Алгебраической называют дробь, числитель и знаменатель которой является алгебраическим выражением. 
    Тождество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство,верное при любых значениях переменной)


  • На какую наибольшую степень числа 2010 делится число 2010


    Решение:

    $$ \cfrac{2010!}{2010^n}, \\ n_{\max}-? $$

    Разложим число 2010 на простые множители:
    $$ 2010=2\cdot3\cdot5\cdot67 $$

    Ясно, что из этих множителей в числителе реже всего встречается множитель 67. Найдем сколько раз он встречается в числителе:
    $$ \frac{2010}{67} =30 $$

    Значит, если в знаменателе будет стоять 30-ая степень числа 2010, то вся дробь будет являться целым числом. Однако, если в знаменателе будет стоять 31-ая и выше степень числа 2010, то в числителе не найдется 31-ого и последующих множителей равных 67, и вся дробь не будет являться целым числом. Следовательно, искомая максимальная степень равна 30.

    Ответ: 30

  • 1. Равенство верное при любых значениях переменных называется... 2.Степень числаА,не равного 0,с нулевым ... 3.Чтобы поделить степени с одинаковыми основаниями... 4.Степени одночлена называют... 5.Одночлен стандартного вида содержит...


    Решение: 1. Тождеством.

    2. С нулевым показателем равна единице.

    3. Надо разделить одно основание на другое, а показатель оставить без изменения.

    4. Сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

    5. Произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

  • Как привести данные примеры в произведение с одинаковыми основаниями, желательно с объяснениями : ^-это обозначение степени. (16^4)^5 : 256^4 * (64^2)^4 : 128^6 ; 9^5n+3 * 27^3n+1 : 81^2n-5


    Решение:

    Желательно помнить степени некоторых чисел...
    например 2^2 = 4 3^2 = 9
    2^3 = 8 3^3 = 27
    2^4 = 16 3^4 = 81
    2^5 = 32
    2^6 = 64
    -------------------------------
    16^2 = 256
    a 256 = 128*2 или 128 = 64*2
    а дальше ---подумать к какому именно основанию лучше приводить...
    можно к основанию 2... можно к основанию 16...
    например так:
    (16^4)^5 = ((16^2)^2)^5 = 256^10
    256^10 : 256^4 = 256^6
    (64^2)^4 = 64^8
    128^6 = (64*2)^6 = 64^6 * 2^6
    64^8 / (64^6 * 2^6) = 64^2 / 2^6 = (2^6)^2 / 2^6 = 2^6
    получили 256^6 * 2^6 = (256*2)^6 = 512^6
    но это же можно записать и как степень двойки, т.е. степень с основанием 2...
    можно сразу записать (понимая, что 16 и 256 и 64 ---это степени числа 2...)
    (16^4)^5 = ((2^4)^4)^5 = 2^80...
    это зависит от задания... просто вычислить (тогда можно и сокращать...)
    или именно записать как произведение с одинаковыми основаниями...
    во втором случае ---основание 3...
    9^(5n+3) = (3^2)^(5n+3) = 3^(10n+6) ---Вы там скобки не поставили, но по-моему сумма в показателе степени...
    27^(3n+1) = (3^3)^(3n+1) = 3^(9n+3)
    81^(2n-5) = (3^4)^(2n-5) = 3^(8n-20)
    получили: 3^(10n+6 + 9n+3 - 8n+20) = 3^(11n+29)

  • Представьте в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравните их по величине (1\5)^7 и (1\625)^3


    Решение: $$ (\frac{1}{5})^{7} \\ ( \frac{1}{625})^{3}=( \frac{1}{5})^{4})^{3} = (\frac{1}{5})^{12} \\ (\frac{1}{5})^{7} > (\frac{1}{5})^{12} \\ (\frac{1}{5})^{7} > (\frac{1}{625})^{3} \\ $$
  • Выражение \( 2^{2015}+2^{2014}+...+2^3+2^2+2^1+2^0 \) вычислили, прибавили к нему 6, затем полученное число записали в двоичной системе счисления. Сколько нулей в этой записи?

    *а(2015) - а в степени 2015


    Решение: Надеюсь, что скобочки означали возведение в соответствующую степень.

    Выражение $$ 2^{2015}+2^{2014}+...+2^3+2^2+2^1+2^0 $$ в двоичной записи представляет собой 2016 единиц.
    Число 6 записывается как 110.
    Складываем их в столбик в двоичной системе:
      11...1111
    +
      110
    -----------------
    100..0101

    Последний разряд: 1+0 = 1
    Предпоследний: 1+1 = 0 (1- перенос)
    Второй: 1+1+1(перенос) = 1 (1-перенос)
    Все остальные: 1+0+1(перенос) = 0 (1-перенос)

    Т.о., нулевыми будут все разряды, кроме последнего и второго. И единичный перенос из старшего разряда в следующий (2016).
    Всего нулей в записи будет 2016-2 = 2014.

    P.S. В условии сказано, что сначала вычислили, прибавили 6 и затем перевели в двоичную систему счисления, а в моем решении все действия производятся в двоичной с.с. Это не имеет никакого значения, потому что все системы равноправны и вычисления в десятичной с.с. с последующим переводом в двоичную, и перевод в двоичную систему с последующими вычислениями дают одинаковые результаты.