степени »

степень квадратного корня

  • 1) Найдите дискриминант квадратного трехчлена и укажите количество его корнейа) x² - 2x - 3 б) х² + х + 5
    2) Решите биквадратное уравнения
    х 4(в степени) + 8х² - 9 = 0


    Решение: X^2-2x-3=0
    D=4+12=16
    X1=(2+4)/2=3 x2=(2-4)/2=-1
    Б) x^2+x+5=0
    D=2-20=-18-корней нет
    #2
    X^4+8x^2-9=0
    Пусть x^2=у тогда у^2+8y-9=0
    D=64+36=100 y1=(-8-10)/2=-9 y2=(-8+10)/2=1
    X1=корень из -9- не имеет смысла x2=корень из 1=+-1

     1.x² - 2x - 3
    D=b²-4ac
    D=4-4*1*(-3)=16
    т к дискриминант число положительное то трехчлен имеет 2 корня
    х² + х + 5
    D=1-4*1*5=-19
    т к D<0 то корней нет
    2.х^4+ 8х² - 9 = 0
    пусть y=x² тогда y²=x^4
    y²+8y-9=0
    D=64-4*1*(-9)=100
    y = -b±√D/2a
    y = -8±10/2
    y1=1; y2=-9
    итак, x²=1 x²=-9 неверно!
      ответ: 1

  • Алгебра 8 класс. Пусть х1 и х2-корни квадратного уравнения х* +2х-5=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/х1 и 1/х2. (*-вторая степень /-дробная черта.)


    Решение: Всё решается очень просто. Применяется теорема Виета для первого уравнения (это есть в любом учебнике математики) 
    х(квадрат)+5х-7=0 
    х1*х2=-7 
    х1+х2=-5 
    Если надо составить уравнение с корнями 1/х1 и 1/х2, то надо сделать несколько преобразований: 
    Если х1*х2=-7, то применяя теорему Виета уже для второго уравнения, получаем, что (1/х1)*(1/х2)=-1/7 
    Тоже самое если сложить два корня: 
    (1/х1)+(1/х2)=(х1+х2)/(х1*х2)=-5/(-7)=5/7 
    Значит уравнение вот такое a^2-(5/7)a-(1/7)=0 
    Можно последнее уравнение умножить на 7, чтобы были целые коэффиценты. 
    Вот и всё решение.

    по т.Виета:

    x1+x2=-b

    x1*x2=c;

    (1/x1)*(1/x2)=1/(x1*x2)=-1/5

    1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1*x2)=-5*(x1+x2)=-5*(-2)=10

    Ответ: x²+10x-1/5=0

  • 81 в степени log по основанию 3 квадратного корня из 17


    Решение: 81=3 в 4 степени.

    При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

    Возведём сначала 3 в степень log по основанию 3 квадратный корень из 17. Т.к. основание степени и логарифма одинаковые, то по основному свойству логарифмов это равно - корень из 17.

    Теперь корень из 17 возведём в 4 степень. Получим 17², это равно 289.

    Ответ: 289. 

  • Корни многочлена 4-степени p(x), их в данном случае 4,составляют арифметическую прогрессию причем каждый из этих корней представим в радикалах 2 степени. (это значит что его можно представить при помощи только рациональных чисел и квадратных корней) докажите что корни многочлена p(x)+a (a-произвольное число )тоже представимы в радикалах 2 степени,если они существуют. при условии что все коэфициенты многочлена представимы в рад 2 степени.


    Решение: $$ p(x)=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2+a_{4}x+a_{5} \\ x=\sqrt{x_{1}} \\ x=\sqrt{x_{1}}+b \\ x=\sqrt{x_{1}}+2b \\ x=\sqrt{x_{1}}+3b \\ p(x)+a=a_{1}x^4+a_{2}x^3+a_{3}x^2 + a_{4}x+a_{5}+a \\ y=\sqrt{y_{1}} \\ y=\sqrt{y_{2}} \\ y=\sqrt{y_{3}} \\ y=\sqrt{y_{4}} $$

    По теореме Виета для уравнение четвертой степени получаем соотношение
    $$ 4\sqrt{x_{1}}+6b = -\frac{a_{2}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)+\sqrt{x_{1}} \\ (\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+3b)+(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+...=\\= \frac{a_{3}}{a_{1}}\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)+\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+2b) \\ (\sqrt{x_{1}}+3b).........=-\frac{a_{4}}{a_{1}} \\ \sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b) \\ (\sqrt{x_{1}}+3b)=\frac{a_{5}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}=-\frac{a_{2}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}}+\sqrt{y_{1}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{4}}+\sqrt{y_{2}y_{3}}...+ = \frac{a_{3}}{a_{1}} \\ \sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}}+\sqrt{y_{1}y_{2}y_{4}} $$

    $$ \left\{ {4\sqrt{x_{1}}+6b=\sqrt{y_{1}}+\sqrt{y_{2}}+\sqrt{y_{3}}+\sqrt{y_{4}}} \atop {\sqrt{x_{1}}(\sqrt{x_{1}}+b)(\sqrt{x_{1}}+2b)(\sqrt{x_{1}}+3b)-\sqrt{y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}}=a} \right. $$
    Учитывая условия что коэффициенты все выражаются в радикалах, то сумма всех корней выраженные в радикалах есть число радикальное . 
      По третьем равенству первой системы $$ \sqrt{x_{1}x_{2}x_{3}}=Rad $$ , то произведение корней так же число радикальное, откуда с последних двух идет верное равенство

  • №1 Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см квадратных.
    №2 Один из корней уравнения Х(во второй степени)+11х+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.


    Решение: Пусть 1 сторона прямоугольника равна х, а вторая y. Составим систему уравнений:

    2*(x+y)=30

    x*y=56

    Решим систему уравнений:

    x+y=15

    x*y=56

    x=15-y

    x*y=56

    (15-y)*y=56

    15y-y^2=56

    -y^2+15y-56=0

    y^2-15y+56=0

    Решим квадратное уравнение.

    Найдем дискриминант:

    D=b^2-4ac=(-15)^2-4*1*56=1

    Квадратный корень из D =1

    y1=(-b-корень из D)/2a= (-(-15)-1)/(2*1) = 7

    y2=(-b+корень из D)/2a= (-(-15)+1)/(2*1) = 8

    Тогда:

    x1=15-y1=15-7=8

    x2=15-y2=15-8=7

    Ответ: x1=8, y1=7; x2=7, y2=8.

1 2 > >>