дроби »

рациональные дроби

  • Решать по действием (преобразования рациональных дробей). Упростите выражение: а) \((\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}):\frac{4m}{10m-5}\)
    б) \(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot (\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3})\)


    Решение: A)
    1) 2m+1 - 2m-1 = (2m+1)² - (2m-1)² = 4m²+4m+1-4m²+4m-1 =
      2m-1 2m+1 (2m-1)(2m+1) (2m-1)(2m+1)
    = 8m
      (2m-1)(2m+1)
    2) 8m : 4m = 8m * 5(2m-1) =
      (2m-1)(2m+1) 10m-5 (2m-1)(2m+1) 4m
    = 2*5 = 10
      2m+1 2m+1
    Ответ: 10
      2m+1
    б)
    1) x+3 + x-3 = (x+3)² +(x-3)² = x²+6x+9+x²-6x+9 = 2x² +18 =
      x-3 x+3 (x-3)(x+3) (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
    = 2(x²+9)
      (x-3)(x+3)
    2) x+3 * 2(x²+9) = 2
      x²+9 (x-3)(x+3) x-3
    Ответ: 2
      x-3

  • Упростите выражение: \(1- \frac{2a-1}{4 a^{2}+4a+1 } - \frac{2a}{2a+1}\)


    Решение: $$ 1- \frac{2a-1}{4 a^{2}+4a+1 } - \frac{2a}{2a+1} =\\=1- \frac{2a-1}{ (2a+1)^{2} } - \frac{2a+1-1}{2a+1}=\\=1- \frac{2a-1}{ (2a+1)^{2} } - 1+ \frac{1}{2a+1}=\\=\frac{2a-1}{ (2a+1)^{2} } + \frac{1}{2a+1}=\\= \frac{2a-1+2a+1}{(2a+1)^{2}} = \frac{4a}{(2a+1)^{2}} \\ \frac{a-3b}{a} =1-3 \frac{a}{b} =1-3 \frac{1}{3} =1-1=0 \\ \frac{4n+12}{2n} =2+ \frac{6}{n}. $$
    принимает натуральные значения при \(\frac{6}{n}\) - целому числу.
    т. е.  n=1,6,2,3

  • Тема рациональные дроби. \(\frac{24a^4}{b^3}*\frac{b^4}{8a^4}\)
    \(\frac{7xy^2}{2}:14x^2y^2\)
    \(\frac{m+2n}{m-n}*\frac{m^2-n^2}{5m+10n}\)
    \(\frac{x^2-2x+1}{x^2-25}:\frac{x-1}{x^2+5x}\)
    \(\frac{a^2}{6b^3}*\frac{24b^3}{a}\)
    \(21x^3y:\frac{7x^3y^2}{3}\)
    \(\frac{m-3n}{m+n}*\frac{m^2-n^2}{3m-9n}\)
    \(\frac{x^2-16}{x^2+4x+4}:\frac{x^2-4x}{x+2}\)


    Решение: $$ \frac{24a^4}{b^3}*\frac{b^4}{8a^4}=3b \\ \frac{7xy^2}{2}:14x^2y^2=\frac{7xy^2}{2*14x^2y^2}=\frac{1}{4x} \\ \frac{m+2n}{m-n}*\frac{m^2-n^2}{5m+10n}=\frac{(m+2n)(m-n)(m+n)}{(m-n)*5(m+2n)}=\frac{m+n}{5} \\ \frac{x^2-2x+1}{x^2-25}:\frac{x-1}{x^2+5x}=\frac{(x-1)^2*x(x+5)}{(x-5)(x+5)(x-1)}=\frac{x(x-1)}{x-5} \\ \frac{a^2}{6b^3}*\frac{24b^3}{a}=4a \\ 21x^3y:\frac{7x^3y^2}{3}=\frac{21x^3y*3}{7x^3y^2}=\frac{9}{y} \\ \frac{m-3n}{m+n}*\frac{m^2-n^2}{3m-9n}=\frac{(m-3n)(m-n)(m+n)}{(m+n)*3(m-3n)}=\frac{m-n}{3} \\ \frac{x^2-16}{x^2+4x+4}:\frac{x^2-4x}{x+2}=\frac{(x-4)(x+4)(x+2)}{(x+2)^2*x(x-4)}=\frac{x+4}{x(x+2)^2} $$

  • Тема рациональные дроби \(\frac{4m+7}{3m-1} - \frac{5}{2m-1}: \frac{3m-1}{4m^{2}-1}\)
    \(( \frac{2}{a-2}- \frac{3}{a+2})* \frac{4-a^{2}}{10a-a^{2} }\)
    \(\frac{3x-4}{x+1}- \frac{2x-5}{x+1}+ \frac{x}{x+1}: \frac{x}{ x^{2}-1}\)


    Решение: $$ \frac{4m+7}{3m-1} - \frac{5}{2m-1}: \frac{3m-1}{4m^{2}-1}=\\= \frac{4m+7}{3m-1} -\frac{5}{2m-1}* \frac{(2m-1)(2m+1)}{3m-1} = \\ \frac{4m+7}{3m-1}- \frac{5(2m+1)}{3m-1} = \frac{4m+7-10m-5}{3m-1} =\\= \frac{-2*(3m-1)}{3m-1}= -2 \\\\ ( \frac{2}{a-2}- \frac{3}{a+2})* \frac{4-a^{2}}{10a-a^{2} }=\\= \frac{2(a+2)-3(a-2)}{(a-2)(a+2) }* \frac{(2-a)(2+a)}{10a-a^{2} }=\\= \frac{10-a}{a-2}* \frac{2-a}{a(10-a)} \ = \frac{2-a}{a(a-2)}= \frac{-(a-2)}{a(a-2)}=- \frac{1}{a} \\\\ \frac{3x-4}{x+1}- \frac{2x-5}{x+1}+ \frac{x}{x+1}: \frac{x}{ x^{2}-1}= \frac{x+1}{x+1}+ x-1=1+x-1=x $$

  • Есть ли между числами 23/1240 и 24/1249 рациональные дроби с числителем 1? Если есть, то сколько?


    Решение: Искомая дробь 1/Х больше первой заданной дроби и меньше второй.
    Возьмем 1 и поделим на нее все эти три дроби, получится:
    1240/23 Х 1249/24
    Теперь надо все поделить столбиком и получить 
    53,9 Х 52,0
    Х между ними, соответственно, только 53 подходит

  • Выполните деление и в полученной рациональной дроби выделите целую часть \(\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+8}: \frac{x^2-1}{x^2-2x+4}\)


    Решение: $$ \frac{x^4-5x^2+4}{x^3+8}: \frac{x^2-1}{x^2-2x+4}= \frac{x^4-5x^2+4}{x^3+2^3}* \frac{x^2-2x+4}{x^2-1}= \\ = \frac{x^4-4x^2+4-x^2}{(x+2)(x^2-2x+4)}* \frac{x^2-2x+4}{x^2-1}= \frac{(x^2)^2-2*x^2*2^2+2^2-x^2}{(x+2)(x^2-2x+4)}* \frac{x^2-2x+4}{x^2-1}= \\ = \frac{(x^2-2)^2-x^2}{(x+2)(x^2-2x+4)}* \frac{x^2-2x+4}{x^2-1} = \frac{[(x^2-2)^2-x^2]*(x^2-2x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)*(x^2-1)}= \\ = \frac{(x^2-2)^2-x^2}{(x+2)(x^2-1^2)} = \frac{[(x^2-2)-x]*[(x^2-2)+x]}{(x+2)(x^2-1^2)} = \frac{(x^2-x-2)*(x^2+x-2)}{(x+2)(x-1)(x+1)}= \\ = \frac{(x^2-2x+x-2)*(x^2-x+2x-2)}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{[x*(x-2)+1*(x-2)]*[x*(x-1)+2*(x-1)]}{(x+2)(x-1)(x+1)}= \\ = \frac{[(x+1)*(x-2)]*[(x+2)*(x-1)]}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)}=x-2 $$
    Ответ: целая часть: x-2, остаток: 0