производная »
производная в точке
1) Составить уравнение касательной к заданной кривой в точке х(0)=4: У(х)=х-2корень из х 2) Вычислить производную у(х) функции: у(х)=(х+2)^3*arctg3х 3) Вычислить неопределенный интеграл: [ х-2/х^2+2х dx ([-знак интеграла)
Решение: 1
y(4)=4-2√4=4-2*2=4-4=0
y`=1-2/2√x=1-1/√x
y`(4)=1-1/√4=1-1/2=1/2
Y=0+0,5(x-4)=0,5x-2
2
y`=3(x+2)²arctg3x+3(x+2)³/(1+9x²)
y``=6(x+2)arctg3x+9(x+2)²/(1+9x²)+[9(x+2)²/(1+9x²)-54x(x+2)³]/(1+9x²)²=
=6(x+2)arctg3x+9(x+2)²/(1+9x²)+[9(x+2)²(1-6x(x+2)(1+9x²)]/(1+9x²)³
3
(x-2)/x(x+2)=A/x+B/(x+2)=-1/x+2/(x+2)
A(x+2)+Bx=x-2
x*(A+B)+2A=x-2
A+B=1 U 2A=-2
A=-1⇒B=1-A=1-(-1)=2
$$ \int\limits {(x-2)/(x^2+2x)} \, dx = \int\limits {2/(x+2)} \, dx - \int\limits {1/x} \, dx =ln/x+2/-ln/x/ $$+C
Задание 1. Найдите производную функцию.
1) f(x)=4х в кубе -3х в квадрате
2) g(x)= дробь -3\х в квадрате + √х
3) q(x)=(2х-1) в степени 3.
4) f(x)= дробь 1\6х в кубе -3х в квадрате
5) g(x)= дробь 3\х именно икс в кубе - дробь 1\2 * √х
6) q(x)= (-3х+1) в степени 4
Задание 2. Найдите производную функции
1) f(x)= Sin 4x-Cos 2x
2) g(x)= Cos в степени 2 2х
3) f(x)= Sin 3x+Cos 5x
4) g(x)= Sin в степени 2 2х
Задание 3. Составте уравнения касательной к кривой.
1) f(x)= дробь 1\х именно икс в степени 6 в т. х0=1
2) f(x)= дробь 1\х именно икс в степени 5 в т. х0=1
Задание 4. Найдите скорость и ускорение точки, если они движутся прямолинейно по закону:
1) х(t)=5t-t в степени 2 - 1 в момент времени t=1c.
2) х(t)=6t+t в степени 2 - 3 в момент времени t=2c.
(координата х(t) измеряется в сантиметрах)
Решение: 1) f(x) " =((4x)^3 -(3x)^2) " =3*4x^(3-1)-2 *3x^(2-1) =12x^2 - 6x3) g(x) " =(2x-1) "=2-0=2
6) g(x) " =(-3x+1)^4 " = 4(-3x+1)^(4-1) (-3x+1) " = -3*4(-3x+1)^3 = -12(-3x+1)^3
2 Задание
1) f(x) " = (sin4x-cos2x) " = cos4x (4x) " -(-sin2x) (2x) " = 4cos4x + 2sin2x
2) g(x) " = (cos^2 2x) " = 2cos2x (2x) " = 2*2cos2x = 4cos2x
3) f(x) " =(sin3x+cos5x) " = cos3x (3x) " + (-sin5x)(5x) = 3cos3x - 5sin5x
4) g(x) " =(sin^2 2x) " = 2sin2x (2x) " = 2*2sin2x = 4sin2x
найти производную в точке х=1.
f(x)=дробная черта, сверху корень из х, снизу 3х-х в кубе. в кубе только х, который после минуса.
Решение: $$ y=\frac{\sqrt{x}}{3x-x^3} \\ y=(\frac{\sqrt{x}}{3x-x^3})=\frac{(\sqrt{x})(3x-x^3)-(3x-x^3)\sqrt{x}}{(3x-x^3)^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x-x^3)-(3-3x^2)\sqrt{x}}{(3x-x^3)^2} $$$$ =\frac{\frac{1}{2*1}(3-1)-(3-3)*1}{(3-1)^2}=\frac{1-0}{2^2}=\frac{1}{4} $$