производная »

производная в точке

  • 1) Составить уравнение касательной к заданной кривой в точке х(0)=4: У(х)=х-2корень из х 2) Вычислить производную у’’(х) функции: у(х)=(х+2)^3*arctg3х 3) Вычислить неопределенный интеграл: [ х-2/х^2+2х dx ([-знак интеграла)


    Решение: 1
    y(4)=4-2√4=4-2*2=4-4=0
    y`=1-2/2√x=1-1/√x
    y`(4)=1-1/√4=1-1/2=1/2
    Y=0+0,5(x-4)=0,5x-2
    2
    y`=3(x+2)²arctg3x+3(x+2)³/(1+9x²)
    y``=6(x+2)arctg3x+9(x+2)²/(1+9x²)+[9(x+2)²/(1+9x²)-54x(x+2)³]/(1+9x²)²=
    =6(x+2)arctg3x+9(x+2)²/(1+9x²)+[9(x+2)²(1-6x(x+2)(1+9x²)]/(1+9x²)³
    3
    (x-2)/x(x+2)=A/x+B/(x+2)=-1/x+2/(x+2)
    A(x+2)+Bx=x-2
    x*(A+B)+2A=x-2
    A+B=1 U 2A=-2
    A=-1⇒B=1-A=1-(-1)=2
    $$ \int\limits {(x-2)/(x^2+2x)} \, dx = \int\limits {2/(x+2)} \, dx - \int\limits {1/x} \, dx =ln/x+2/-ln/x/ $$+C

  • Задание 1. Найдите производную функцию.
    1) f(x)=4х в кубе -3х в квадрате
    2) g(x)= дробь -3\х в квадрате + √х
    3) q(x)=(2х-1) в степени 3.
    4) f(x)= дробь 1\6х в кубе -3х в квадрате
    5) g(x)= дробь 3\х именно икс в кубе - дробь 1\2 * √х
    6) q(x)= (-3х+1) в степени 4
    Задание 2. Найдите производную функции
    1) f(x)= Sin 4x-Cos 2x
    2) g(x)= Cos в степени 2 2х
    3) f(x)= Sin 3x+Cos 5x
    4) g(x)= Sin в степени 2 2х
    Задание 3. Составте уравнения касательной к кривой.
    1) f(x)= дробь 1\х именно икс в степени 6 в т. х0=1
    2) f(x)= дробь 1\х именно икс в степени 5 в т. х0=1
    Задание 4. Найдите скорость и ускорение точки, если они движутся прямолинейно по закону:
    1) х(t)=5t-t в степени 2 - 1 в момент времени t=1c.
    2) х(t)=6t+t в степени 2 - 3 в момент времени t=2c.
    (координата х(t) измеряется в сантиметрах)


    Решение: 1)     f(x) " =((4x)^3 -(3x)^2) " =3*4x^(3-1)-2 *3x^(2-1) =12x^2 - 6x

    3)    g(x) " =(2x-1) "=2-0=2

    6)    g(x) " =(-3x+1)^4  " =  4(-3x+1)^(4-1) (-3x+1) " = -3*4(-3x+1)^3 = -12(-3x+1)^3

                                                2      Задание

    1)     f(x) " = (sin4x-cos2x) " = cos4x (4x) " -(-sin2x) (2x) " = 4cos4x + 2sin2x

    2)     g(x) " = (cos^2 2x) " = 2cos2x (2x) " = 2*2cos2x = 4cos2x

    3)      f(x) " =(sin3x+cos5x) " = cos3x (3x) " + (-sin5x)(5x) ’ = 3cos3x - 5sin5x

    4)      g(x) " =(sin^2 2x) " = 2sin2x (2x) " = 2*2sin2x = 4sin2x

                                                

  • найти производную в точке х=1.
    f(x)=дробная черта, сверху корень из х, снизу 3х-х в кубе. в кубе только х, который после минуса.


    Решение: $$ y=\frac{\sqrt{x}}{3x-x^3} \\ y’=(\frac{\sqrt{x}}{3x-x^3})’=\frac{(\sqrt{x})’(3x-x^3)-(3x-x^3)’\sqrt{x}}{(3x-x^3)^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x-x^3)-(3-3x^2)\sqrt{x}}{(3x-x^3)^2} $$

     $$ =\frac{\frac{1}{2*1}(3-1)-(3-3)*1}{(3-1)^2}=\frac{1-0}{2^2}=\frac{1}{4} $$