производная »

найти производную

  • Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)= -x^2+3|x-1|+2 на отрезке [-2;2] больше не понимаю как найти производную от данной функции, возможнораскрыть модуль по определению и взять поочередно производную и еще, куда нужно подставлять полученные x чтоб найти значение производной?


    Решение: F(x) = - x² +3|x-1| +2 ; x∈ [ -2 ;2]
    a) f(x) = - x² -3(x-1)  +2 = -x² -3x +5 x∈ [ -2 ;1]  *** = - (x +3/2)² +29/4 ***   

    f ’(x) = -2x -3 ;
    f’ (x) + -
    ----------- -2 --------------------- - 3/2  --------- 1 
    f(x) ↑ max ↓
    f( -3/2) = - (-3/2)² - 3*(-3/2) +5 = 29/4 .

    b)      f(x) = - x² +3(x-1)  +2  = - x² +3x -1 ;x∈ [ 1 ;2]
     ***   f(x) = - (x - 3/2)² +5/4 ; парабола : вершина А(3/2 ; 5) ; ветви вниз *** 

    f’(x) = - 2x +3 ;
    f ’(x) +  -
    --- 1 ------------------- 3/2 ---------------------- 2 
    f(x) ↑ max ↓
    f(3/2) = -(3/2)² +3*(3/2) -1 = 5/4  


    f(- 2) = 7 ;     f( -3/2) =29/4   ; f(1) =1 ; f(3/2) =5/4 ;  f(2) =1.
    сравнивая эти данные заключаем 
    max f(x) =  f(-3/2) =7,25.
    x∈[ -2 ;2] 

    min f(x) =  f(1) =f(2) = 1.
    x∈[ -2 ;2] 
    ответ : 7,25 ; 1.
    -------------------------------------------
    P.S. x=1 критическая     точка ( производная в этой точке не существует) ;
         выясняется точка минимума (производная левее от x=1 отрицательно ,
    а правее от нее положительно [при переходе знак меняется от "- " к  "+") .
    и еще;  для этой  функции не стоит  применить "    артиллерию" , достаточно
    выделить полный квадрат (элементарно исслед кв функ).
    Постройте график     .
     

  • Найдите производную функции f(x)=(xв 4 степени-1)*(х в 4 степени+1)


    Решение: f(x)=(x⁴-1)(x⁴+1)=x⁸-1

    f’(x)=8x⁷

    .....................................................

    производную данной функции можно искать, как производную произведения, а можно сначала упростить функцию, а после найти производную.

    Решим обоими вариантами

    1) f (x) = u*v

    f ’ (x) = u ’ * v + u * v ’

    f (x) = (x^4-1)*(x^4+1)

    f ’ (x) = 4x^3*(x^4+1) + (x^4-1)*4x^3 = 4x^7+4x^3+4x^7-4x^3=8x^7

    2) f (x) = (x^4-1)*(x^4+1) = (x^4)^2 - 1 = x^8 - 1

    f ’ (x) = 8*x^7=8x^7

    ответ: 8x^7

  • Отметьте верные утверждения:постоянный множитель можно выносить за знак производной

    производная высшего порядка представляет собой скорость изменения производной предыдущего порядка

    производная постоянной равна самой этой постоянной

    производной n-го порядка называется первая производная в n-й степени

    производная суммы функций равна сумме производных этих функций


    Решение: Вообще, как ни странно правильные все ответы.
    1. Если у нас за знаком интеграла будет стоять, например, 5, а далее функция, мы можем вынести 5 за знак производной.
    2. Например, производная второго порядка - это скорость изменения производной первого порядка.
    3. Например, e^x
    4. Это стандартное правило, записано во всех таблицах производных
    5. Например, 5x^2 + 6x + 12x^3. Перед каждым из плюсов поставится знак производной и будет вычисляться как отдельная производная.

  • Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)= -x^2+3|x-1|+2 на отрезке [-2;2] больше не понимаю как найти производную от данной функции, возможно раскрыть модуль по определению и взять поочередно производную и еще, куда нужно подставлять полученные x чтоб найти значение производной?


    Решение: F(x) = - x² +3|x-1| +2 ; x∈ [ -2 ;2]
    a) f(x) = - x² -3(x-1)  +2 = -x² -3x +5 x∈ [ -2 ;1]  *** = - (x +3/2)² +29/4 ***   
    f ’(x) = -2x -3 ;
    f’ (x) + -
    -2 - 3/2  - 1 
    f(x) ↑ max ↓
    f( -3/2) = - (-3/2)² - 3*(-3/2) +5 = 29/4.

    b)      f(x) = - x² +3(x-1)  +2  = - x² +3x -1 ;x∈ [ 1 ;2]
     ***   f(x) = - (x - 3/2)² +5/4 ; парабола : вершина А(3/2 ; 5) ; ветви вниз *** 
    f’(x) = - 2x +3 ;
    f ’(x) +  -
    - 1 - 3/2 - 2 
    f(x) ↑ max ↓
    f(3/2) = -(3/2)² +3*(3/2) -1 = 5/4  

    f(- 2) = 7 ;     f( -3/2) =29/4   ; f(1) =1 ; f(3/2) =5/4 ;  f(2) =1.
    сравнивая эти данные заключаем 
    max f(x) =  f(-3/2) =7,25.
    x∈[ -2 ;2] 
    min f(x) =  f(1) =f(2) = 1.
    x∈[ -2 ;2] 
    ответ : 7,25 ; 1.
    -
    P.S. x=1 критическая     точка ( производная в этой точке не существует) ;
         выясняется точка минимума (производная левее от x=1 отрицательно,
    а правее от нее положительно [при переходе знак меняется от "- " к  "+").
    и еще;  для этой  функции не стоит  применить "    артиллерию", достаточно
    выделить полный квадрат (элементарно исслед кв функ).
    Постройте график     .
     

  • Найти производную \( f’( x_{0}) \)
    1) \( f(x)= \frac{3^{x} }{x^{2} } \) \( x_{0}= -1 \)
    2) \( f(x)=8ln2,3x \\ x_{0}=2 \)
    3) \( f(x)=log_{2}(3-2x) \\ x_{0}=1 \)
    Найти интеграл
    1) \( \int\limits^2_{-2} {(5^ \frac{x}{4} -sin \pi x)} \, dx \)


    Решение: 1)
    f=3^x/x^2=e^(x*ln(3)-2*ln(x))
    f’=e^(x*ln(3)-2*ln(x)) * (ln(3) - 2/x) = 3^x/x^2 * (ln(3) - 2/x) = 3^x/x^2 * ln(3) - 2*3^x/x^3
    f’(x=-1) =3^(-1)/(-1)^2 * ln(3) - 2*3^(-1)/(-1)^3 = ln(3) / 3 + 2/3 ~ 1,032871
    2)
    f=8ln(2,3x)=8ln(2,3)+8ln(x)
    f’=-8/x
    f’(x=2)=-8/2=-4
    3)
    f=log[2](3-2x) = ln(3-2x)/ln(2)
    f’=1/((3-2x)*ln(2)) * (-2)=1/((x-1,5)*ln(2))
    f’(x=1)=1/((1-1,5)*ln(2)) = -2/ln(2)
    4) integrar [-2;2] (5^(x/4)+sin(pi*x)) dx = integrar_1 + integrar_2
    integrar_1 = integrar [-2;2] (5^(x/4)) dx = 5^(x/4) * 4/ln(5) [подстановка от -2 до 2] =(5^(2/4)-5^(-2/4)) * 4/ln(5) =(корень(5)-1/корень(5))) * 4/ln(5)=корень(5)*(1-1/5)) * 4/ln(5) = 16*корень(5) / (5*ln(5) )
    integrar_2 =0 (интеграл от нечетной функции в симметричных пределах)
    integrar_2 =integrar [-2;2] (sin(pi*x)) dx =-cos(pi*x)/pi [-2;2] [подстановка от -2 до 2] =-cos(pi*2)/pi -cos(-pi*2)/pi =0

  • Найти производную для заданной функции. Исследовать функцию на экстремум и построить ее график.
    4 1) у= - х2- 2х+ 3 2) у= - х3-2х2+3 3) у= (3х-3)//(х+2)


    Решение: 1) y’=(-x²-2x+3)’=-2x-2
    -2x-2=0
    -2x=2
    x=-1
      + -
    -(-1)-
    Производная меняет знак с "+" на "-" в точке х=-1, значит функция в этой точке достигает своего максимума.
    y(-1)=-(-1)²-2(-1)+3=-1+2+3=4
    2) y’=(-x³-2x²+3)’=-3x²-4x
    -3x²-4x=0
    -x(3x+4)=0
    x=0 3x+4=0
      3x=-4
      x=-4/3
      - + -
    -(-4/3)-(0)-
    При переходе через точку x=(-4/3) производная меняет знак с "-" на "+" значит в этой точке функция достигает минимума: 
     y=-(-4/3)³-2*(-4/3)²+3=64/27-32/9+3=-32/27+3=49/27
    При переходе через точку х=0 производная меняет знак с "+" на "-" значит в этой точке функция достигает своего максимума:
    y=0-0+3=3
    3) y’=((3x-3)/(x+2))’=((3x-3)’(x+2)-(3x-3)(x+2)’)/(x+2)²=(3*(x+2)-(3x-3))/(x+2)²=(3x+6-3x+3)/(x+2)²=9/(x+2)²=(3/(x+2))²
    (3/(x+2))²=0
    3/(x+2)=0
    У данной функции глобальных экстремумов нет.

  • Найти производную. 1) y=(x+5) ^7 +корень из x
    2) y=(2-3x)^5
    3) y=ctg^3x/4cos5x <-дробь
    4) y=tg(x^2)e^x


    Решение: 1. y’(x) = 7(x+5)^6 - 1/(2*sqrt(x))
    2. y’(x) = -15 (2-3x)^4
    3. странно записано условие, трудно понять, что там
    4. y’(x) = 1/(2cos^2(x/2) * e^x) + tg(x/2)*e^x

  • найти производную:
    1)f(x)=(x^2-x)(x^3+x)
    2) дробь f(x)=x^3+x^2+16/x
    3) f(x)=1/2sin2x+корень2x


    Решение: 1. f(x)=(x^2-x)(x^3+x)

    раскрыть:

    f(x)=x^5+x^3-x^4-x^2

    и находим производную:

    f’(x)=5x^4+3x^2-4x^3-2x

    2. не поняла

    3. пусть u=2x, тогда производная (sinu)’=cosu*u’

    то есть, (sin2x)’=cos2x*2

    тогда:

    $$ f’(x)=1/2*cos2x*2+1/2*1/\sqrt{2x}*2 $$ 

    двойки сократятся и получится:

    $$ f’(x)=cos2x+1/\sqrt{2x} $$ 

  • Найти производную функции:
    А) y=5x^3-4x^2+6x-8
    Б) f(x)=9x-4 дробь x+5
    Вычислить g’(2), если
    g(x)=16 дробь x +10x-7


    Решение: $$ y’ = (5 x^{3}-4 x^{2} +6x-8)’ = 15 x^{2} -8x+6 \\ y’=( \frac{9x-4}{x+5})’= \frac{(9x-4)’(x+5)-(9x-4)(x+5)’}{ (x+5)^{2} } = \frac{9x+45-9x+4}{ x^{2} +10x+25} = \frac{49}{ x^{2} +10x+25} $$
    Б делалось по формуле: 
    $$ ( \frac{f}{g})=( \frac{f’*g-f*g’}{ g^{2} } \\ g’(x)= (\frac{16}{x+10x-7})’ = \frac{16’*(11x-7)-(11x-7)’*16}{ (11x-7)^{2} } = \frac{-176}{121 x^{2} - 154x + 49} \\ g’(2)= \frac{-176}{121 * 4 - 154 * 2 + 49} = \frac{-176}{225} $$