график функции »

график убывающей функции

  • На одной координатной плоскости построены графики y=1/2x^2 ; y=1/2(x-2)^2 ; y=1/2(x+2)^2
    1. Найдите на данных графиках точку каждой кривой имеющую ординату равную 8 По графику можно определить что соответствующая абсцисса точки графика функций y=1/2(x-2)^2 будет на 2 больше а абсцисса точки графика функций y=1/2(x+2)^2 на два меньше абсциссы точки графика функций y=1/2x^2 проверьте это утверждение с помощью вычислений
    2. Выясните различие в расположении графиков данных функций относительно осей координат
    3. Найдите координаты вершин каждой параболы и выясните при каком сдвиге параболы y=1/2x^2 получены параболы y=1/2(x-2)^2 и y=1/2(x+2)^2
    4. Определите по графикам при каких значениях х каждая из функций: а) убывает; б) возрастает; в) принимает наименьшее значение


    Решение: 1. $$ y= \frac{1}{2} (x-2)^2 \\ \\ 8=\frac{1}{2} (x-2)^2 \\ \\ (x-2)^2=16 \\ x-2=+-4 \\ \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=6}} \right. $$
    -
    $$ y= \frac{1}{2} x^2 \\ \\ 8=\frac{1}{2} x^2 \\ \\ x^2=16 \\ \left \{ {{x_1=-4} \atop {x_2=4}} \right. $$
    -
    $$ y= \frac{1}{2} (x+2)^2 \\ \\ 8=\frac{1}{2} (x+2)^2 \\ \\ (x+2)^2=16 \\ x+2=+-4 \\ \left \{ {{x_1=-6} \atop {x_2=2}} \right. $$
    ======================================================
    2. 
    $$ \frac{1}{2} x^2 $$ - расположен симметрично оси Y
    $$ \frac{1}{2} (x+2)^2 $$ - график сдвинут по оси Х на 2 влево
    $$ \frac{1}{2} (x-2)^2 $$ - график сдвинут по оси Х на 2 вправо
    ======================================================
    3.
    $$ \frac{1}{2} x^2=0 \\ \\ x^2=0 \\ x=0 $$
    -
    $$ \frac{1}{2} (x+2)^2=0 \\ \\ (x+2)^2=0 \\ x+2=0 \\ x=-2 $$
    сдвиг по оси Х на 2 влево
    -
    $$ \frac{1}{2} (x-2)^2=0 \\ \\ (x-2)^2=0 \\ x-2=0 \\ x=2 $$
    сдвиг по оси Х на 2 вправо
    ======================================================
    4. 
    а) 
      1) $$ y=\frac{1}{2} (x+2)^2 $$ x∈$$ (-\infty;-2) $$
      2) $$ y=\frac{1}{2} x^2 $$ x∈$$ (-\infty;0) $$
      3) $$ y=\frac{1}{2} (x-2)^2 $$ x∈$$ (-\infty;2) $$
    -
    б)
      1) $$ y=\frac{1}{2} (x+2)^2 $$ x∈$$ (-2; +\infty) $$
      2) $$ y=\frac{1}{2} x^2 $$ x∈$$ (0; +\infty) $$
      3) $$ y=\frac{1}{2} (x-2)^2 $$ x∈$$ (2; +\infty) $$
    -
    в)
      1) $$ y=\frac{1}{2} (x+2)^2 $$ x=-2
      2) $$ y=\frac{1}{2} x^2 $$ x=0
      3) $$ y=\frac{1}{2} (x-2)^2 $$ x=2

    .

    .  y frac x- frac x- x- x- - left x - atop x right. - y frac x frac x x left x - atop x right. - y frac x frac x x x - left x - atop x right. .  frac x - расположен симметрич...

  • 1. найти наименьшее значение y=x^2-6x+5
    2. с помощью графика функции y=-x^2+2x+3 найти значения х при которых значение функции равно 3
    3. По графику функции y=1-x^2 найти значение х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения
    4. на каких промежуточных функциях y=2x^2 возрастает? убывает?
    5. найти координаты вершины параболы y=(x-3)^2


    Решение: 1. Это парабола с ветвями, направленными вверх, т. е. наименьшее значение будет в вершине x₀=6/2=3; y₀=-4.

    Ответ: -4.

    2. y=-x²+2x+3;

    -x²+2x+3=3;

    x²-2x=0;

    x(x-2)=0;

    x₁=0; x₂=2.

    Ответ: 0; 2.

    3. Положительные при х∈(-1;1), отрицательные при х∈(-∞;-1)U(1;+∞).

    4. Это же обычная искривленная парабола: убывает на х∈(-∞;0), возростает на х∈(0;+∞).

    5. у=х²-6х+9;

    х₀=6/2=3; у₀=0.

    Ответ: (3;0).

  • Постройте график функции Используя рисунок, определите координаты вершины параболы, уравнение её оси симметрии, промежуток убывания функции, нули функции. y=x^2-6x+8


    Решение: 1) y=x^2-6x+8=x^2-6x+9-1=(x-3)^2-1 - получено из y=x^2 сдвигом на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. График изображен на фото.
    2) Координаты вершины (3;-1)
    3) x=3 - ось симметрии
    4) На (-бесконечности;3] - функция убывает
    5) x=2 и x=4 - нули функции

  • А) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 2x - 5y - 10=0 с осями координат.
    б) Определите, принадлежит ли графику данного уравнения точка М(-1 1/2;-2,6).
    в) Задайте линейную функцию y=kx формулой, если известно, что её график паралелен прямой 4х + у + 7 = 0.
    г) Определите, возрастет или убывает заданная линейная функция. Почему?


    Решение: А) чтобы найти точки пересечения с осями, необходимо поочередно приравнять Х и Y к нулю. 
    пересечение с Оу: x=0; 2*0-5y-10=0; -5y=10; y=-0.5
    пересечение с Ох: y=0; 2x-5*0-10=0; 2x=10; x=5
    б) подставив координаты точки в уравнение, мы должны получить верное равенство.
    $$ 2*(-1 \frac{1}{2} )-5*(-2,6)-10=0\\ 2*(-1,5)-5*(-2,6)-10=0\\ -3+13-10=0\\ 0=0 $$
    Равенство верно, точка принадлежит.
    в) графики параллельны только тогда, когда их угловой коэффициент равен.
    угловой коэффициент прямой 4х + у + 7 = 0 равен k=4, тогда все графики параллельные данному имеют вид y=-4x+c, где с - любое число.
    г) Функция убывает, так как ее производная f’(x)=-4 отрицательна.

  • Постройте график линейной функции y=x+4. Найдите : а) координаты точек пересечению графика с осями координат б) значение y, соответствующее значению x, равному -2; -1; 1; в) значение x, которому соответствует значение y, равное 1; -2; 7; г) выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция


    Решение: y=x+4

    б)

    y(-2)=-2+4=2

    y(-1)=-1+4=3

    y(1)=1+4=5

    в)

    x+4=1⇒x=-3

    x+4=-2⇒x=-6

    x+4=7⇒x=3

    г) возрастает, т. к. угловой коэффициент положителен.

    ================================