график функции »

график касательной к функции - страница 2

  • Найдите площадь треугольника ограниченного осями координат и
    касательной к графику функции y=-\( \frac{7}{x} \)
    в точке с абсциссой \( x_{0} \)
    =1
    1) 10 2)11 3) 12
    4)13 5)14


    Решение: .

    Y(x0)=y(1)=-7/1=-7
    y’(x)=7/(x^2)
    y’(x0)=y’(1)=7/(1^2)=7
    Уравнение касательной:
    y=y’(x0)*(x-x0)+y(x0)
    y=7*(x-1)-7=7x-14
    Найдём точки пересечения прямой y=7x-14 с осями координат:
    Когда x=0, y=-14, когда y=0, x=2.
    Получается, что касательная отсекает на оси х отрезок длиной 2, на оси у - отрезок длиной 14.
    Получаем прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 и 14.
    Площадь: S=1/2*2*14=14

  • Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной, проведенной к графику функции y=\( \frac{x}{2x-1} \) в точке x(нулевое)=1.


    Решение: Касательная в точке х=1
    $$ y-y_0=y’_0(x-x_0);\\ y=y’_0(x-x_0)+x_0;\\ y_0=y(x_0);\\ y’_0=y’(x_0);\\ y’=(\frac{x}{2x-1})’=\frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2}=\frac{1}{(2x-1)^2};\\ x_0=1; y_0=\frac{1}{2-1}=1; y’_0=1;\\ y=1\cdot(x-1)-1=x-2;\\ $$
    y=x-2 уравнение касательной,
    ограничена ею и осями координат
    OY -итегрируем с х=0;
    ОХ-до точки пересичения графика с ОХ(у=0)==>x-2=0==>x=2
    $$ S= \left|\int\limits^2_0 {x-2} \, dx\right|=\left|\frac{x^2}{2}\left|_0^2-2x\right|_0^2\right|=\\ =\left|\frac{1}{2}(2^2-0^2)-2(2-0)\right|=\left|2-4\right|=2; $$
    проверить можно, касательная пересекает оси координат в точках (0;-2) и (2;0),
    у нас прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2, а площадь (1/2)*2*2=2

  • в какой точке касательной график функции уf=(x) образует с осью Ох углом 45градусов
    1)f(x)= 2x-1под корнем
    2)f(x)= 3x+2под корнем


    Решение: Обозначим искомую координату х = а

    1)f(x)= √(2x-1)

    f’(x)= 2/2√(2x-1) = 1/√(2x-1)

    f’(a) = tg 45°= 1

    f’(a) = 1/√(2a-1) = 1

    1/√(2a-1) = 1

    1/(2a-1) = 1

    2a-1= 1

    2a = 2

    a = 1

    f(а)= √(2·1 - 1) = √1 = 1

    Ответ: координаты точки (1; 1)

    2)f(x)= √(3x+2)

    f’(x)= 3/2√(3x+2)

    f’(a) = tg 45°= 1

    f’(a) = 3/2√(3a+2) = 1

    3/2√(3a+2) = 1

    9/4(3a+2) = 1

    4·(3a+2) = 9

    12a +8 = 9

    12а = 1

    a = 1/12

    f(а)= √(3· 1/12 + 2)= √(9/4) = 3/2 = 1,5

    Ответ: координаты точки (1/12; 1,5)

<< < 12