график функции » дана функция y
  • Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости от значения а:
    а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину А;
    б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину С;
    в) f(a) — отношение, в котором прямая L делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку А).


    Решение: Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией \( y = ax, a > 0 \) на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку \( A \), — это площадь фигуры под точкой \( A \) до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку \( C \), — это площадь фигуры над точкой \( C \) и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
    ==========
    а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку \( A \), от величины \( a \).
    Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
    Рассмотрим оба случая отдельно.
    СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
    Имеем треугольник \( \triangle OAD \) (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной \( a \), а значит от величины a зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении \( a \geq 1\) (при a < 1 эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку \( \angle A = 90^{\circ}\), отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: \( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} \). Необходимо выразить эту площадь через величину a, то есть узнать, как катеты OA и AD зависят от a. Поразмышляем над этим:
    При любом значении \( a \geq 1 \) катет OA (из условия точка 0 имеет координату y = 0, а точка A координату y = 4, отсюда OA = 4). OA никак не зависит от величины a. Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией y = ax, но не забывайте, что a > 0, а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то \( a \geq 1 \)9.
    Теперь подумаем, как от величины a зависит катет AD.
    Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата AB. Координата y этой прямой =4. С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией y = ax. Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты y равны. Так совпало, что координата x и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией y = ax. Нас интересует тот самый x, что является катетом треугольника. То есть тот x, который получается при y = 4. Запишем это:
    \( y = ax \\ 4 = ax \\ x = \frac{4}{a} \)
    Мы нашли зависимость катета AD от величины a.
    Напомню формулу площади:
    \( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} \)
    Где OA = 4, \( AD =\frac{4}{a} \). Найдем теперь зависимость площади треугольника от a:
    \( s_{\triangle OAD} = \frac{OA \cdot AD}{2} = \frac{4 \cdot \frac{4}{a}}{2} = \frac{8}{a} \)
    Отлично, зависимость найдена. Но это только при \( a \geq 1 \). А что будет в случае, если \( 0 < a < 1 \)? Подумаем.
    СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
    Как мы уже отметили, при \(0 < a < 1 \) точкой A ограничена трапеция OABE (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:
    \( s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB \)
    Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от \( a, (0 < a < 1)\). Основание OA и высота AB от a не зависят. Зависит только меньшее основание BE. Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, OA = 4, AB = 4. Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции BE от величины a. Видим, что BC = BE + EC = 4
    Отсюда: BE = BC - EC = 4 - EC
    Остается найти EC. Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем EC = y, а на этот раз x=4. Получаем:
    \( y = ax \\ y = 4a \\ y = EC \\ EC = 4a \)
    Вспоминаем где нам нужно было EC:  BE = 4 - EC = 4 - 4a.
    Теперь же найдем площадь трапеции:
    \( s_{OABE} = \frac{OA + BE}{2} \cdot AB = \frac{4 + 4 - 4a}{2} \cdot 4 = \frac{4(2 - a)}{2} \cdot 4 = 16 - 8a \)
    ======
    Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину A, зависит от величины a, причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы:
    \( S_{A} = \left \{ {{\frac{8}{a}, (a \geq 1)} \atop {16 - 8a, (0 < a < 1)}} \right. \)Прежде все покажем квадрат а также прямую заданную функцией y ax a на одной координатной плоскости смотрите первый рисунок . Отметим что площадь фигуры содержащей точку A это...
  • Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство х^2/f(x)>64*f(1/x)


    Решение: Дана функция:

    $$ f(x)=x^{-3} $$

    А, теперь, у нас есть неравенство:

    $$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 $$
    Вопрос: как я получил функцию $$ x^3 $$ в функции $$ f(\frac{1}{x}) $$.
    Чтобы было легче понять, подставим вместо f - y. Получим:

    $$ \frac{1}{y}=x^{-3} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{x^3} \\ y=x^3 $$
    Остальное решаем:

    $$ \frac{x^2}{x^{-3}}>64x^3 \\ \frac{x^2}{\frac{1}{x^3}}>64x^3 \\ x^6>64x^3 \\ x^3>64 \\ x>4 $$

    Ответ: x>4

    Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени.
    Найдите все значения х при которых выполняется неравенство х в квадрате/f(x)>64*f(1/x)

    х^2/(x^(-3))>64*(1/(x^(-3)))
    x^(2+3)>64*x^3
    x^5-64x^3>0
    x^3(x^2-64)>0
    x^3(x-8)(x+8)>0
    Значения х при которых левая часть неравенства меняет знак
    x=0 x+8=0 x-8=0
    x=0 x=-8 x=8
    На числовой прямой отразим знаки левой части неравенства
      -    0 + 0  -   0 +.
    -------!--------!-------!-----
      -8 0 8   .
    Поэтому неравенство имеет решение при
    x принадлежит (-8;0)U(8;+бескон)

  • Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х при которых выполняется неравенство х в квадрате/f(x)>64*f(1/x)


    Решение: Требуется решить неравенство

    $$ \frac{x^2}{f(x)} > 64 \cdot f(\frac{1}{x}) $$

    для функции, заданной как $$ f(u) = u^{-3} $$.

    В таком случае имеем

    $$ \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x^{-3}} = x^3 $$

    $$ f\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-3} = x^3 $$

    Упрощаем неравенство

    $$ \frac{x^2}{f(x)} > 64 \cdot f(\frac{1}{x}) \; \Leftrightarrow \; {x}^2 \cdot {x}^3 > 64 \cdot x^3 $$

    $$ {x}^5 - 64 \cdot x^3 > 0 $$

    $$ {x}^3 \left(x^2 - 64\right) > 0 $$

    $$ {x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0 $$

    Имеем интервалы знакопостоянства:

    $$ \left(-\infty;\: -8\right) $$, где \( {x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0 \) (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение \( x < -8 \), например, -10)

    \( \left(-8;\: 0\right) \), где \( {x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0 \)

    \( \left(0;\: 8\right) \), где \( {x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) < 0 \)

    \( \left(8;\: +\infty\right) \), где \( {x}^3 \left(x - 8\right)\left(x + 8\right) > 0 \)

     Ответ: при \( -8 < x < 0 \) и \( x > 8 \).

    Условная запись ответа объединением множеств: \( x \in (-8;\;0) \cup (+8; +\infty) \)