координаты »

координаты и длины векторов

  • Даны координаты вершин треугольника АВС.
    Требуется:
    а) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат;
    б) найти длину стороны АВ;
    в) составить уравнение стороны АВ;
    г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С;
    д) вычислить длину этой высоты;
    е) вычислить величину угла А;
    ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С;
    з) найти нормальный вектор стороны АС.
    Координаты: А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5)


    Решение:

    А) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат:
    для этого построить заданные точки А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5), соединить их и получится треугольник.
    б) найти длину стороны АВ = √((-6-0)²+(-2-1)²) = √(36+9) = √45 =  6.708203932;
    в) составить уравнение стороны АВ:
    АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха)  = (У-Уа) / (Ув-Уа ).
     АВ : -3 Х + 6 У - 6 = 0 или разделив на -3:
    АВ:      Х - 2 У + 2 = 0.
    То же в виде уравнения с коэффициентом:
    АВ:      у = 0.5 х + 1.
    г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С: 
    Уравнение высоты из вершины С:
     СС₂: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв)
     СС₂: 6 Х + 3 У + 33 = 0, разделим на 3:
     СС₂: 2 Х + У + 11 = 0.
    СС₂: у = -2 х - 11.
    Уравнение медианы из вершины С:
     СС₁ : 4.5 Х + 0 У + 13.5 = 0
    Разделим на 4,5 и уберём У(он равен 0):
    СС₁ : Х + 3 = 0
    д) вычислить длину этой высоты:
    CC₂ = 2S / ВА = 4.024922. 
    е) вычислить величину угла А:
    cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / ( 2*АВ*АС)  = 0.8
     A = 0.643501 радиан  = 36.8699 градусов
    ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С:
    Основание медианы (точки пересечения медианы со стороной):
     C₁(Хс1;Ус1): (Ха+Хв) / 2; (Уа+Ув) / 2 .
    С₁ (-3; -0.5)
    С (-3; -5)
    направляющий вектор медианы: СС₁(-3-(-3) = 0, -5 - (-0,5)= 4,5) 
    СС₁(0: -4,5).
    з) найти нормальный вектор стороны АС:
    это высота на сторону АС из точки В:
    В₂: -2.4 -3.8
    В (-6; -2)
    нормальный вектор ВВ₂ (-2,4-(-6) =3,6; -3,8-(-2) = -1,8)
    ВВ₂(3,6; -1,8).

  • Записать координаты вершин S, A, B, C пирамиды SABC. Найти: координаты и длины векторов \( \frac{}{SA}, \frac{}{SB}, \frac{}{SC} \) плоские углы при вершине S, Площадь основания АВС и объем пирамиды.


    Решение: Пусть
    А(0;0:0) В(1;0:0) С(0;1:0) S(0;0:1)
    вектор SA = (0: 0: -1)
    вектор SB = (1: 0: -1)
    вектор SC = (0: 1: -1)
    |SA| = корень (0^2+ 0^2 +(-1)^2)=1
    |SB| = корень (1^2+ 0^2 +(-1)^2)=корень(2)
    |SC| = корень (0^2+ 1^2 +(-1)^2)=корень(2)
    угол BSA = arccos((SA*SB)/(|SA| *|SB| )) = arccos((0*1+0*0+(-1)*(-1))/(1 * корень(2) )) = 45
    угол СSA = arccos((SA*SС)/(|SA| *|SС| )) = arccos((0*0+0*1+(-1)*(-1))/(1 * корень(2) )) = 45
    угол BSС = arccos((SС*SB)/(|SС| *|SB| )) = arccos((0*1+1*0+(-1)*(-1))/(корень(2) * корень(2) )) = arccos(1/2)=60
    площадь АВС = |[АВ*АС]/2|=1/2
    объем SABC = площадь АВС * h /3 = 1/2 *1*1/3 = 1/6

  • Даны точки A(3;1) B(-1;4) C(2; -3) D(-2; -4) 1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD
    2) Найдите координаты и длину вектора m=3AC-4BD


    Решение: 1) b = (1/2)c  - d ; c(6 ; -2)  ;  d (1; -2 ).
    -
    b(x ;y) - |b | -
    (1/2)c = ((1/2)*6 ; (1/2)*(-2)) = (3; -1).  
     b =(1/2)c  - d = (3-1 ; (-1 -(-2)) = (2 ;1) ⇔ b(2;1). 
    |b| =√(2² +1²) =√5.
    -
    2) (x - x₁)² +(y -y₁)² =R²  → уравнение окружности радиусом  R и  центром в точке O₁(x₁; y₁).
    (x - 2)² +(y -1)² =R² ;
    Окружность проходит через точку D(5;5), значит :
    (5 - 2)² +(5-1)² =R² ⇒R =5.
    (x - 2)² +(y -1)² =5².

  • 1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке М.
    1) Выразите вектор AM через векторы AB и BC
    2) Найдите \вектор BC\ если диагонали ромба равны 12 и 16.
    3) Найдите \вектор AC\, если A(3;1), C (-1;4)
    2. Даны точки A (3;1), B (-1;4), C (2; -3) D (-2; -4)
    1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD
    2) Найдите координаты и длину вектора m= 3AC-4BD


    Решение: AC = 12; BD = 16. Это не повлияет на ответ. O - точка пересечения диагоналей; В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то есть AO = OC = 6;  BO = OD = 8; Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB с прямым углом AOB. По теореме Пифагора AB^2 = AO^2 + OB^2; AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100; AB^2 = 100 следовательно |AB| = 10; Ответ: 10

  • 1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке М.
    1) Выразите вектор AM через векторы AB и BC
    2) Найдите \вектор BC\ если диагонали ромба равны 12 и 16.
    3) Найдите \вектор AC\, если A(3;1), C (-1;4)
    2. Даны точки A (3;1), B (-1;4), C (2; -3) D (-2; -4)
    1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD
    2) Найдите координаты и длину вектора m= 3AC-4BD
    3. Отрезок АС лежит на стороне острого угла О. Из концов отрезка и его середины В опущены перпендикуляры AM, BP и СТ на другую сторону угла. Найдите длину отрезка ВР, если AM = 34 см, СТ = 18 см.


    Решение: Пусть для определенность AC = 12; BD = 16. Это не повлияет на ответ. O - точка пересечения диагоналей; В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то есть AO = OC = 6;  BO = OD = 8; Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB с прямым углом AOB. По теореме Пифагора AB^2 = AO^2 + OB^2; AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100; AB^2 = 100 следовательно |AB| = 10; Ответ: 10.