многочлен второй степени
Составьте многочлен второй степени по его корням: а) -1/4и -3/4 б) √2 и 2√2; в) -1 и 5
Решение: $$ x^2+bx+c=0 $$
по теореме Виета
$$ x_1+x_2=-b $$
$$ x_1\cdot x_2=c $$
1) $$ x_1=- \frac{1}{4} $$ и $$ x_2=- \frac{3}{4} $$
$$ b=-(- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} )=1 $$
$$ c= \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16} $$
$$ x^2+x+\frac{3}{16}=0 $$
2) $$ x_1=\sqrt{2} $$ и $$ x_2=2\sqrt{2} $$
$$ b=-(\sqrt{2} + 2\sqrt{2})=-3\sqrt{2} $$
$$ c= \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4 $$
$$ x^2-3\sqrt{2}x+4=0 $$
3) $$ x_1=-1$$ и $$ x_2=5 $$
$$ b=-(-1+5 )=-4$$
$$ c= -1\cdot 5=-5 $$
$$ x^2-4x-5=0 $$7класс. Тема:Умножение многочлена на многочлен. Вынесение общего множителя за скобки 1. а)-3х(2х-1); б)(2а-b)*8b+8b во второйстепени 2. а)3ах + 4а; б)6х во второй степени - 3х. 3. Задача: Печатая за 1 час на 3 страницы больше, чем планировалось, машинистка перепечатала книгу за 6 часов вместо 7 часов по плану. Сколько страниц в книге?
Решение: 1. а)-3х(2х-1)=-6x²+3x.б)(2а-b)*8b+8b²=16ab-8b²+8b²=16ab.
2. а)3ах + 4а=2a(1,5x+2).
б)6x² - 3х=3x(2x-1).
3. Задача: Печатая за 1 час на 3 страницы больше, чем планировалось, машинистка перепечатала книгу за 6 часов вместо 7 часов по плану. Сколько страниц в книге?
Ответ: за час печатали: 18 страниц (3*6);
в книге:108 страниц (18*6).
Найдите наибольшее значение многочлена p(x)
а) p(x)=5x-2x^2
б) p(x)=10-3x-x^2
в)p(x)=1+3x-2x^2
P.S например 2x^2 это значит 2x во второй степени
Решение:Так как у всех многочленов перед х² стоит знак минус, то ветви парабол направлены вниз и наибольшее значение будет в вершинах парабол.
а) р(х)=5х-2х², х(верш)=-в/2а=-5/-4=5/4
у(верш)=р(5/4)=25/4-25/8=25/8 - наибольшее значение р(х)
б)р(х)=10-3х-х² , х(верш)=3/-2
у(верш)=р(-3/2)=10+9/2-9/4=49/4
в) р(х)=1+3х-2х² , х(верш)=-3/-4=3/4
у(верш)=1+9/4-9/8=17/8Найдите многочлен второй степени ax^2-7x+c,если известно,что его корни равны (-2/5) и 11:/3.
Решение: Согласно теореме Виета для обобщенного квадратного уравнения имеем:
$$ x_1+x_2=-\frac{-7}{a} $$
$$ x_1x_2=\frac{c}{a} $$
откуда
$$ a=\frac{7}{x_1+x_2}=\\\frac{7}{-\frac{2}{5}+\frac{11}{3}}=\\\frac{7}{\frac{55-6}{15}}=\\\frac{105}{49}=\frac{15}{7} $$
$$ c=ax_1x_2=\\\frac{15}{7}*\frac{-2}{5}*\frac{11}{3}=\\\frac{15*(-2)*11}{7*5*3}=\frac{(-2)*11}{7}=\\\frac{-22}{7} $$
========
$$ ax^2-7x+c=\frac{15}{7}x^2-7x-\frac{22}{7} $$
проверка
$$ \frac{15}{7}x^2-7x-\frac{22}{7}=0 $$ |*7
$$ 15x^2-49x-22=0 $$
$$ D=(-49)^2-4*15*(-22)=3721=61^2 $$
$$ x_1=\frac{49-61}{2*15}=\frac{-12}{30}=-\frac{2}{5} $$
$$ x_2=\frac{49+61}{2*15}=\frac{110}{30}=\frac{11}{3} $$Преобразуйте в многочлен:(у-4)во второй степени(7х+а)²
(5с-1)(5с+1)
(3а+2в)(3а-2в)
Решение: (У-4)^2=у^2-8у+16
(7х+а)^2=49х^2+14ха+а^2
(5с-1)(5с+1)=25с^2+5с-5с-1=25с^2-1
(3а+2в)(3а-2в)=9а^2-6ав+6ав-4в^2=9а^2-4в^2$$ (y-4)^2=(y-4)(y-4)=y(y-4)-4(y-4)=y^2-4y-4y+16= \\ =y^2-8y+16 $$
$$ (7x+a)^2=(7x+a)(7x+a)=49x^2+14ax+a^2 $$
$$ (5c-1)(5c+1)=5c(5c+1)-1(5c+1)=25c^2+5c-5c-1= \\ =25c^2-1 $$
$$ (3a+2b)(3a-2b)=9a^2-4b^2 $$
Полезно знать формулы сокращенного умножения. Хотя бы для степени 2.1. Разложите на множители 1)с в 3степени минус 36с
2)3а во в торой степени минус 18аб плюс 27 б во торой степени
номер 2
упростите
(3z-2)(2z+4)-(2z-1) во второй степени -9z
номер 3
преобразует в многочлен
1). (p-3)(p+4)-4p(2-p)
2). (y-6)во второй степени - 4 y(y+2)
3). 4(p-3)во второй степени
-4х во второй степени
Решение: 1)c^3-36c=c*(c^2-36)=c*(c-6)*(c+6)
2)3a^2-18ab+27b^2=3*(a-3b)^2
N2
6z^2+12z-4z-8-4z^2+8z-1-9z=2z^2+7z-9
N3
1)p^2+4p-3p-12-8p+4p^2=5p^2-7p-12
2)y^2-12y+36-4y^2-8=28-3y^2-12y1) с^3 - 36 c = c(c^2 - 36) = c(c-6)(c+6);
2) 3a^2 - 18 ab + 27 b^2= 3(a^2 - 6ab + 9 b^2) = 3(a - 3b)^2;
(3z -2)(2z+4) - (2z - 1)^2 - 9z= 6z^2 - 4z +12z -8 - (4z^2- 4z +1) - 9z =
= 6z^2 + 8z -8 - 4z^2+4z -1 - 9z= 2z^2 +12z -9.
3.1)(p-3)(p+4)-4p(2-p)= p^2 - 3p +4p - 12- 8p + 4 p^2=
=5p^2 -7p - 12.
2) (y-6)^2 - 4y(y+2)=y^2 - 12y + 36 - 4y^2 - 8y = - 3y^2 - 20y +36.
3) 4(p-3)^2 - 4p^2=4(p^2 - 12p + 9) - 4p^2= 4 p^2 - 48 p + 36 - 4p^2=
=- 48 p + 36.Найдите многочлен второй степени ax^2-7x+c, если известно, что его корни равны (-2/5) и 11:/3.
Решение: Согласно теореме Виета для обобщенного квадратного уравнения имеем:
$$ x_1+x_2=-\frac{-7}{a} \\ x_1x_2=\frac{c}{a} $$
откуда
$$ a=\frac{7}{x_1+x_2}=\\\\\frac{7}{-\frac{2}{5}+\frac{11}{3}}=\\\\\frac{7}{\frac{55-6}{15}}=\\\\\frac{105}{49}=\frac{15}{7} \\ c=ax_1x_2=\\\\\frac{15}{7}*\frac{-2}{5}*\frac{11}{3}=\\\\\frac{15*(-2)*11}{7*5*3}=\frac{(-2)*11}{7}=\\\\\frac{-22}{7} $$
========
$$ ax^2-7x+c=\frac{15}{7}x^2-7x-\frac{22}{7} $$
проверка
$$ \frac{15}{7}x^2-7x-\frac{22}{7}=0 $$ |*7
$$ 15x^2-49x-22=0 \\ D=(-49)^2-4*15*(-22)=3721=61^2 \\ x_1=\frac{49-61}{2*15}=\frac{-12}{30}=-\frac{2}{5} \\ x_2=\frac{49+61}{2*15}=\frac{110}{30}=\frac{11}{3} $$
Составьте многочлен второй степени по его корням:
а) -1/4и -3/4 б) √2 и 2√2; в) -1 и 5
Решение: $$ x^2+bx+c=0 $$
по теореме Виета
$$ x_1+x_2=-b \\ x_1\cdot x_2=c $$
1) $$ x_1=- \frac{1}{4} $$ и $$ x_2=- \frac{3}{4} \\ b=-(- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} )=1 \\ c= \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{16} \\ x^2+x+\frac{3}{16}=0 $$
2) $$ x_1=\sqrt{2} $$ и $$ x_2=2\sqrt{2} \\ b=-(\sqrt{2} + 2\sqrt{2})=-3\sqrt{2} \\ c= \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4 \\ x^2-3\sqrt{2}x+4=0 $$
3) $$ x_1=-1 $$ и $$ x_2=5 \\ b=-(-1+5 )=-4 \\ c= -1\cdot 5=-5 \\ x^2-4x-5=0 $$
Найдите наибольшее значение многочлена p(x)
а) p(x)=5x-2x^2
б) p(x)=10-3x-x^2
в)p(x)=1+3x-2x^2
P.S например 2x^2 это значит 2x во второй степени
Решение: Так как у всех многочленов перед х² стоит знак минус, то ветви парабол направлены вниз и наибольшее значение будет в вершинах парабол.
а) р(х)=5х-2х², х(верш)=-в/2а=-5/-4=5/4
у(верш)=р(5/4)=25/4-25/8=25/8 - наибольшее значение р(х)
б) р(х)=10-3х-х², х(верш)=3/-2
у(верш)=р(-3/2)=10+9/2-9/4=49/4
в) р(х)=1+3х-2х², х(верш)=-3/-4=3/4
у(верш)=1+9/4-9/8=17/8
