интеграл » интеграл из х
  • Изменить порядок интегрирования в интеграле
    знак интеграл от 0 до 2 dx знак интеграл от -√(4-x^2 ) до 2-х f(x,y) dy
    \( \int _0^2dx\, \int _{-\sqrt{4-x^2}}^{2-x}f(x,y)dy\)


    Решение: $$ \int _0^2dx\, \int _{-\sqrt{4-x^2}}^{2-x}f(x,y)dy=I $$
    Так как $$ 0 \leq x \leq 2 $$, то область проектируется на ось ОХ на отрезок [0,2]. Переменная у изменяется от $$ y_1=-\sqrt{4-x^2} $$  до $$ y_2=2-x $$.
    То есть, если провести луч, параллельный оси ОУ, через внутреннюю точку области, то точка входа луча в область лежит на линии $$ y=-\sqrt{4-x^2} $$, a точка выхода - на линии $$ y=2-x $$.
    Определим, что это за линии. 
    $$ y=-\sqrt{4-x^2}\; \to \; \; y^2=(-\sqrt{4-x^2})^2\; \to \; \; y^2=4-x^2\\\\x^2+y^2=4 $$
    Это уравнение окружности с центром в (0,0) и R=2. Но нам необходима та часть окружности, для которой  y<0, так как перед квадратным  корнем стоит знак минус.
    То есть это будет нижняя полуокружность.
    у=2-х  - это прямая, проходящая через точки (0,2) и (2,0).
    При изменении порядка интегрирования, нужно лучи проводить через внутренние точки области параллельно оси ОХ, и проектировать её на ось ОУ. Теперь у нас будет сложная область, так как точки входа будут лежать на оси ОУ ( х=0), а точки выхода на разных линиях: полуокружности и прямой. Значит надо разбить область на 2 простые области.
    Точки выхода, лежащие на полуокружности будут иметь такие абсциссы:
    $$ x^2+y^2=4\; \; \to \; \; x^2=4-y^2\; \; \to \; \; x=\pm \sqrt{4-y^2}\\\\Tak\; kak\; x \geq 0,\; to\; x=+\sqrt{4-y^2}. $$
    Точки выхода, лежащие на прямой будут иметь абсциссы, равные х=2-у.
    $$ I=\int _{-2}^0dy\int _0^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx+\int _0^{2}dy\int _0^{2-y}f(x,y)dx $$

  • Взять интеграл от корня из 1-4x²

    ∫√(1-4x²)dx


    Решение: $$ (1- 4x^2)^2/8 $$ + c

    Тут нужно методом подстановки.

    Нужно сделать замену аргумента так, чтобы выражение упростилось

    подставим вместо x=sint/2

    $$ \int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ x=\frac{sint}{2}\\ $$

    при этом обе части дифференцируются

    $$ dx=\frac{cost}{2}dt $$

    теперь подставляем все это: вместо x = sint/2, вместо dx = cost/2 dt

    $$ \int\sqrt{(1-4x^2)}dx\\ \int\sqrt{(1-4(\frac{sint}{2})^2)} \frac{cost}{2}dt=\int\sqrt{(1-sin^2t)}\frac{cost}{2}dt=\\ =\int\sqrt{cos^2t}\frac{cost}{2}dt=\int cost*\frac{cost}{2}dt=\int \frac{cos^2t}{2} dt $$

    Теперь раскладываем cos^2x формулой понижения степени и тогда уже сможем проинтегрировать.

    $$ \int \frac{cos^2t}{2} dt =\int \frac{\frac{1}{2}(1+cos2t)}{2} dt =(\frac{1}{4}+\frac{cos2t}{4})dt=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{4*2}=\frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8} $$

    Теперь вместо t надо подставить то, что мы заменяли

    $$ x=\frac{sint}{2}\\ 2x=sint\\ t=arcsin2x\\ $$

    подставляем это в полученное нами выражение

    $$ \frac{t}{4}+\frac{sin2t}{8}+C\\ \frac{arcsin2x}{4}+\frac{sin2(arcsin2x)}{8}+C=\frac{arcsin2x}{4}+\frac{4x\sqrt{4-x^2}}{8}+C=\\= \frac{arcsin2x}{4}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C $$

  • Решить такой интеграл? Корень из (9-3(x^2))


    Решение: Применены формулы интегрирования, 

    ∫√(9-3x²) dx
    замена переменных:
    х=√3sin(u)
    ∫3√3(cos(u))² du
    выносим константу:
    3√3∫(cos(u))² du
    (cos(u))²=1/2+1/2cos(2u)
    3√3∫1/2+1/2cos(2u) du
    интеграл суммы есть сумма интегралов
    3√3(∫1/2du+∫1/2cos(2u) du)
    3√3(1/2u+∫1/2cos(2u) du)
    3√3(1/2u+1/2∫cos(2u) du)
    u1=2u
    3√3(1/2u+1/2∫1/2cos(u1) du1)
    3√3(1/2u+1/4∫cos(u1) du1)
    3√3(1/2u+1/4sin(u1))
    3√3(1/2u+1/4sin(2u))
    3/4 √3(2arcsin(1/3 x√3)+2/9 x√3√(9-3x²))
    ∫√(9-3x²) dx=3/4 √3(2arcsin(1/3 x√3)+2/9 x√3√(9-3x²))+C

  • Интеграл dx/(5cos(x)+3) с решением.


    Решение:

    Пояснение насчет подстановок:

    $$ t(x) = \tan \frac{x}{2}\\ t’(x) = dt/dx\\ dt = t’(x)dx = \frac{(\frac{x}{2})’}{\cos^2 \frac{x}{2}}dx = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}dx = \\ =\frac{dx}{2}(1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}) = \frac{dx}{2}(1 + \tan^2 \frac{x}{2})= \frac{dx}{2}(1+t^2)\\ dx = \frac{2dt}{1+t^2} $$

    По формуле двойного угла:

    $$ \cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$

    Теперь загоняем все в интеграл

    $$ \int \frac{dx}{5\cos x+3}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = \int \frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\\ =\int \frac{2dt}{8-2t^2} = \int \frac{dt}{4-t^2} = -\int \frac{dt}{t^2-2^2} =\\ =-\frac{1}{4}\ln\frac{|t-2|}{|t+2|} + C $$

    Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

  • найдите интеграл от 0 до pi/2 (1/2 sin x/2+1/3 cos x/3) dx и интеграл от 1 до 4 (x^(2)+x корень из x+x/корень из x) dx


    Решение: $$ \\\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}}\, dx=\\ \frac{1}{2}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\, dx+\frac{1}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos \frac{x}{3}}\, dx=(*)\\ t=\frac{x}{2},u=\frac{x}{3}\\ dt=\frac{1}{2}\,dx,du=\frac{1}{3}\,dx\\ \frac{1}{2}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{2\sin t}\, dt+\frac{1}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{3\cos u}\, du=\\ \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin t}\, dt+\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos u}\, du=\\ \Big[-\cos t\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\Big[\sin u\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ (*)=\Big[-\cos \frac{x}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\Big[\sin \frac{x}{3}\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ -\cos \frac{\pi}{4}-(-\cos 0)+\sin \frac{\pi}{6}-\sin 0=\\ -\frac{\sqrt2}{2}+1+\frac{1}{2}=\\ -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{3}{2} \\ \\\int \limits_1^4 {x^2+\sqrt x+\frac{x}{\sqrt x}}\, dx=\\ \int \limits_1^4 {x^2+\sqrt x+\sqrt x}\, dx=\\ \int \limits_1^4 {x^2+2\sqrt x}\, dx=\\ \Big[\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big]_1^4=\\ \Big[\frac{x^3}{3}+\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big]_1^4=\\ \frac{4^3}{3}+\frac{4\cdot4^{\frac{3}{2}}}{3}-(\frac{1^3}{3}+\frac{4\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3})=\\ \frac{64}{3}+\frac{4^{\frac{5}{2}}}{3}-(\frac{1}{3}+\frac{4}{3})=\\ \frac{64}{3}+\frac{2^{\frac{10}{2}}}{3}-\frac{5}{3}=\\ \frac{59}{3}+\frac{32}{3}=\\ \frac{91}{3} $$

  • Интеграл(в верху п/9, внизу п/12)3dx/cos^2*3x


    Решение: $$ \int^{\frac{ \pi }{9}}_{ \frac{ \pi }{12} } { \frac{3dx}{cos^23x} }= \int^{ \frac{ \pi }{9} }_{ \frac{ \pi }{12} } { \frac{d(3x)}{cos^23x} }=tg3x|\int^{ \frac{ \pi }{9} }_{ \frac{ \pi }{12} }=tg(3*\frac{ \pi }{9})-tg(3*\frac{ \pi }{12} )= \\ =tg( \pi /3)-tg( \pi /6)= \sqrt{3} - \sqrt{3} /3= \frac{3 \sqrt{3}- \sqrt{3} }{3}= \frac{2 \sqrt{3} }{3} $$

  • Чему равен интеграл от произведения? (Конкретно: интеграл от cos3xcos5x)?


    Решение: Решение
    Решение

    Интеграл cos3x*cos5x

                               

                          

    РешениеРешениеИнтеграл cos x cos x                                                   ...