интеграл »
интеграл функции
Решить этот интеграл: найти экстремум функции 2-х переменных:
Z=e^(-2y^2) *(x^2 +y)
Решение: Bb$$ z=e^{-2y^2}\cdot (x^2+y)\\\\z’_{x}=e^{-2y^2}\cdot 2x=0\; \; \to \; \; x=0\; \; (e^{-2y^2}\ > \ 0)\\\\z’_{y}=-4y\cdot e^{-2y^2}\cdot (x^2+y)+e^{-2y^2}\cdot 1=e^{-2y^2}\cdot (-4x^2y-4y^2+1)=0\\\\-4x^2y-4y^2+1=0\\\\Pri\; x=0:\; \; -4x^2y-4y^2+1\, |_{x=0}=-4y^2+1=0\; \to \; y=\pm \frac{1}{2}\\\\A(0,\frac{1}{2}),\; \; B(0,\frac{1}{2})\\\\z’’_{xx}=2e^{-2y^2},\; z’’_{xy}=2x\cdot (-4y)e^{-2y^2},\\\\z’’_{yy}=-4y^2\cdot e^{-2y^2}(-4x^2y-4y^2+1)+e^{-2y^2}(-4x^2-8y) \\ z’’_{xx}(A)=2e^{-\frac{1}{2}}\;,\; z’’_{xy}(A)=0\;,\; z’’_{yy}(A)=4e^{-\frac{1}{2}}\\\\\Delta(A)= \left|\begin{array}{ccc}2e^{-\frac{1}{2} 0}\\0 4e^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right|=8e^{-1} >0 \\ z’’_{xx}(A)\ > \ 0\; \to \; min\\\\z_{min}=z(0,\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}} \\ z’’_{xx}(B)=2e^{-\frac{1}{2}},\; z’’_{xy}(B)=0,\; z’’_{yy}(B)=-4e^{-\frac{1}{2}}\\\\\Delta(B)= \left|\begin{array}{ccc}2e^{-\frac{1}{2}} 0\\0 -4e^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right| =-8e^{-1}\ < \ 0\; \to \; net\; ekstremyma $$
При каком условии интеграл \( \int{ \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} } \, dx \) представляет собой рациональную функцию? Нужно доказать
Решение: Положим $$ \frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2} $$
Открыв скобки, и приравняв соответствующие коэффициенты
$$ n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c $$
$$ m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c $$
$$ \frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2} $$ По отдельности
$$ \frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3} $$ $$ + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2} $$
По свойству интеграла
$$ \int{(f(x)+f_{1} +.+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int{f_{1}(x)} \, dx+\int{ f_{2}(x)}dx+.+ $$
Получим
$$ \frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C $$
Откуда следует, для того чтобы функция была рациональной
Откуда решения
$$ 1) \\ a\ > \ 0 \ \ ; b\ > \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ > \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3} \\ 2) \\ a\ < \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ < \ b\ < \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3} \\ 3) \\ a\ > \ 0 ; \ \ b\ < \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ < \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}$$1. Найти:
а) lim x->0 sin^2 2x / x^2
б) lim x->3 x^2-6x+9 / x^2-3x
2. Исследовать функцию y=x^3+1 и построить ее график
3. Найти интегралы:
_
а) _/ 3x^3 - 2x^2 + 5 / x dx
_
б) _/ (8e^x - 5^x) dx
5. Найдите радиус и площадь сферы, описанной около куба со стороной 6 см.
Решение: 1. lim sin²2x/x²=lim (sin2x/x)²=lim (2sin2x/2x)²=lim(4*(sin2x/2x)²)=4*lim (sin2x/2x)²=4*1²=4
x->0( писать под каждым lim)
lim((x²-6x+9)/(x²-3x))=lim((x-3)²/(x*(x-3)))=lim((x-3)/x)=(3-3)/3=0
limx->3
3. =3*x³⁺¹/(3+1)-2*x²⁺¹/(2+1)+5*ln|x|+C=3x⁴/4-2x³/3+5ln|x|+C
5. окружность описана около шара, ⇒D шара=dкуба
d²=a²+a²+a²
d²=3*6², d=6√3
D=6√3, R=3√3
S=4πR², S=πD
S=4*6√3
S=24√3 см
Найти неопределенные интегралы функций: а)\( \int{xln^{2}x}\, dx \)
б)\( \frac{dx}{2sinx+cosx+2} \)
в)\( \frac{(x^{3}-6)dx}{x^{4}+6x^{2}+8} \)
Решение: в примере б) tgx/2=t тогда sinx=2t/(1+t^2) cosx=(1-t^2)/(1+t^2) dx=2dt.(1+t^2)
Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций: \( \int\limits { \frac{x^3-x^2-2x-7}{x^2-x-6} } \, dx\\ \int\limits { \frac{x^2+5x+9}{(x+1)(x^2+4)} } \, dx \)
Решение: $$ \int\limits { \frac{x^3-x^2-2x-7}{x^2-x-6} } \, dx = \int\limits { (x+\frac{4x-7}{x^2-x-6}) } \, dx = \int\limits {x} \, dx + \int\limits { \frac{4x-7}{x^2-x-6} } \, dx =\\\\= \frac{x^2}{2} + \int\limits { (\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x-3} )} \, dx = \frac{x^2}{2}+3 \int\limits { \frac{1}{x+2} } \, dx + \int\limits { \frac{1}{x-3} } \, dx =\\ =3\ln|x+2|+ \frac{x^2}{2} +\ln|x-3|+C \\ \int\limits { \frac{x^2+5x+9}{(x+1)(x^2+4)} } \, dx = \int\limits {( \frac{1}{x+1}+ \frac{5}{x^2+4} ) } \, dx = \int\limits { \frac{1}{x+1} } \, dx +5 \int\limits { \frac{1}{x^2+4} } \, dx =\\ =\ln|x+1|+5 \int\limits { \frac{1}{x^2+2^2} } \, dx = \frac{5\arctan \frac{x}{2} }{2} +\ln|x+1|+C $$
Найти производные dy/dx для неявно заданных функций xy = -e^y
Найти неопределённые интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.
- S x d x*ln(x-1) = ; Sx*sin3x dx
Решение: 1. xy = -e^y
y + y’*x = - (e^y) * y’
y’*x + y’*e^y = - y
y’(x + e^y) = -y
y’ = - y/ (x + e^y)
2.
a) S x*ln(x-1)dx = x^2 * ln(x-1) - S x d x*ln(x-1) =
= x^2 * ln(x-1) - S x *(ln(x-1) + x/(x-1)) dx
2 S x*ln(x-1)dx = x^2 * ln(x-1) - S x^2/(x-1) dx
Найдем отдельно S x^2/(x-1) dx :
S x^2/(x-1) dx = S (x^2 - 1)/(x-1) + 1/(x-1) dx =
= S x + 1 + 1/(x-1) dx = (x^2)/2 + x + ln(x-1), подставляем выше:
2*S x*ln(x-1) dx = x^2 *ln(x-1) - (x^2)/2 - x - ln(x-1) + c
S x*ln(x-1) dx = 0.5 * (x^2 *ln(x-1) - (x^2)/2 - x - ln(x-1)) + c
б) Sx*sin3x dx = -1/3 Sx d cos3x =
= -1/3 (x*cos3x - Scos3xdx) =
= - (x*cos3x)/3 + sin3x/9 + c
