интеграл »

метод интегралов - страница 2

  • найти интеграл, используя метод разложения
    знак интеграла dx/(x^2-6)


    Решение: $$ \int {\frac{dx}{x^2-6}}=\int {\frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}}\, dx \\ \frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}=\frac{A}{x-\sqrt{6}}+\frac{B}{x+\sqrt{6}} $$.
    Нужно найти A и B.
    $$ \frac{A}{x-\sqrt{6}}+\frac{B}{x+\sqrt{6}}=\frac{(A+B)x+\sqrt{6}(A-B)}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})}=\frac{1}{(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})} \\ (A+B)x+\sqrt{6}(A-B)=1 $$
    положим $$ A=-B $$, чтоб исчезли челн с иксом, потом подставляем найденные A и B в сумму двух дробей, а там интеграл от простой дроби равен натуральному логарифму.
    zzz

  • Найти интеграл методом подстановки. (Подробно):
    \( \int\limits^ \) tg x dx=?
    5dx
    √49-7x² =


    Решение: 2dx = 2dx = 2 *  = 
     xdx = 
     -5dx =  dx = -5x
    -
    Відповідь: 

    $$ \begin{array}{l} \int {{\mathop{\rm tg}olimits} xdx} = \left( \begin{array}{l}t = \cos x\\ dt = - \sin xdx \end{array} \right) = \int {\frac{{ - dt}}{t}} = - \ln \left| t \right| + C = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\\ \int {\frac{{5dx}}{{\sqrt {49 - 7{x^2}} }}} = \left( \begin{array}{l} x = \sqrt 7 \sin t\\ dx = \sqrt 7 \cos tdt \end{array} \right) = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\int {dt} = \frac{5}{{\sqrt 7 }}\arcsin \frac{x}{{\sqrt 7 }} + C \end{array} $$

  • Используя метод Эйлера составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y̒=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y₀(1,8)=2.6 на отрезке [1.8;2.8] h=0.1. Все вычисления вести ЧС четырьмя десятичными знаками у’=х+cos⁡〖у/√5〗


    Решение: Как я понял условие, [(y/кор5)] - означает целую часть выражения в скобках.

    Согласно методу Эйлера, решение дифф. ур-ия:

    y’ = f(x,y), где f(x,y) = x + cos[(y/кор5)] с нач. условием у0(1,8) = 2,6 на отрезке [1,8; 2,8] можно представить в виде:

    у(k+1) = y(k) + h*f(xk, yk), где h = 0,1 - по условию.

    Итак у(k=0) = 2,6

    Теперь начинаем считать значения у, чтобы заполнить таблицу:

    y1 = 2,6+0,1{1,9+cos[2,6/кор5])=2,6+0,1{1,9+cos1} = 2,8440

    y2 = 2,8440+0,1{2,0+cos1} = 3,0980

    y3 = 3,0980+0,1{2,1+cos1} = 3,3620

    y4 = 3,3620 + 0,1{2,2+cos1} = 3,6360

    y5 = 3,6360+0,1{2,3+cos1} = 3,9200

    y6 = 3,9200+0,1{2,4+cos1) = 4,2140

    y7 = 4,2140+0,1{2,5+cos1} = 4,5180

    y8 = 4,5180+0,1{2,6+cos2) = 4,7364   (видим, что на этом шаге [y/кор5]=2)

    y9 = 4,7364+0,1{2,7+cos2} = 4,9648

    y10 = 4,9648+0,1{2,8+cos2} = 5,2032

    -

          x              | y

    -

          1,8           | 2,6000

          1,9 | 2,8440

          2,0           |                 3,0980

          2,1           |                 3,3620

          2,2           |                 3,6360

          2,3           |                 3,9200

          2,4           |                 4,2140

          2,5           |                 4,5180

          2,6           |                 4,7364

          2,7           |                 4,9648

          2,8           |                 5,2032

    -

  • Интеграл методом подстановки \(\int x^2 e^{-x^3}dx \)


    Решение: Подстановка
    $$ t=x^3 $$
    Значит $$ \sqrt[3]{t}=x $$. Вычислим $$ dx=d\sqrt[3]{t}=dt^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}t^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}} $$
    Преобразуем исходный интеграл
    $$ \int x^2e^{-x^3}\,dx=\int(\sqrt[3]{t})^2e^{-t}*\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}\,dt= \\ =\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}e^{-t}t^{-\frac{2}{3}}\,dt= \\ =\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}t^{-\frac{2}{3}}e^{-t}\,dt= $$
    Теперь можно сократить подынтегральное выражение. Ведь множители с t сокращают друг друга.
    $$ =\frac{1}{3}\int e^{-t}\,dt= $$
    Теперь заменим t на (-z).
    $$ t=-z \\ z=-t \\ dz=-dt $$
    далее решаем
    $$ =\frac{1}{3}\int e^{z}\,(-dz)=-\frac{1}{3}\int e^{z}\,dz=-\frac{1}{3}e^{z}+C. $$
    Где С=const.
    Теперь снова вернемся к переменной t. Так как t=-z, то интеграл принимает вид
    $$ -\frac{1}{3}e^{-t}+C $$
    Вернемся к переменной $$ x^3. $$
    Получается, что
    $$ -\frac{1}{3}e^{-t}+C=-\frac{1}{3}e^{-x^3}+C $$
    Ответ: $$ -\frac{1}{3}e^{-x^3}+C, $$ С=сonst.

  • Интегралы. решить данные интегралы методом подведения под знак интеграла.1. \( \int\limits\sqrt{cos x} * sin x dx \)2. \( \int\limits \frac{e^{arcsin x}}{ \sqrt{1-x^2}} \) 3. \( \int\limits { \frac{x^2dx}{ \sqrt{x^6-2} } } \) .


    Решение:
    1) Т к $$ d(cosx)=-sinxdx $$, то $$ \int\limits { \sqrt{cosx}*sinx } \, dx=-\int\limits { \sqrt{cosx}} \, d(cosx)= \\ =- \frac{cos^{ \frac{3}{2}}x}{ \frac{3}{2}}+C=- \frac{2}{3}cosx\sqrt{cosx}+C $$
    2) Т к $$ d(arcsinx)= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}dx $$, то 
    $$ \int\limits { \frac{e^{arcsinx}}{ \sqrt{1-x^2}}} \, dx= \int\limits {e^{arcsinx}} \, d(arcsinx)=e^{arcsinx}+C $$
    3) Т к $$ d(x^3)=3x^2dx $$, то $$ \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{3x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3)=\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{(x^6-2} } } \, d(x^3) $$
    Подстановка $$ \sqrt{x^6-2}=x^3-t; $$ $$ (\sqrt{x^6-2})^2=(x^3-t)^2; \\ x^6-2=x^6-2x^3t+t^2;2x^3t=t^2+2;x^3= \frac{t^2+2}{2t}; \\ d(x^3)= \frac{2t*2t-2(t^2+2)}{4t^2}dt= \frac{t^2-2}{2t^2}dt; \\ \sqrt{x^6-2}= \frac{t^2+2}{2t}-t= \frac{2-t^2}{2t}; $$
    $$ \frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{x^6-2} } } \, d(x^3) =\frac{1}{3}\int\limits { \frac{(t^2-2)2t}{2t^2 (2-t^2) } } \, dt =-\frac{1}{3}\int\limits { \frac{1}{t } } \, dt =-\frac{1}{3}lnt+C \\ t=x^3- \sqrt{x^6-2}; $$ $$ \int\limits { \frac{x^2}{ \sqrt{x^6-2} } } \, dx=-\frac{1}{3}lnt+C=-\frac{1}{3}ln|x^3- \sqrt{x^6-2}|+C $$

<< < 12 3 > >>