интеграл » интеграл дифференциального уравнения
  • Как решить дифференциальное уравнение $$ y’=\frac{x + 2y - 3}{2x - 2} $$


    Решение: Преобразуем $$ y’+\frac{1}{x-1}y=\frac{x-3}{2x-2} $$

    Делаем замену y=uv => y’=u’v+v’u.

    Подставим в уравнение

    $$ u’v+v’u+\frac{1}{x-1}uv=\frac{x-3}{2x-2} $$

    $$ u’v+u(v’+\frac{1}{x-1}v)=\frac{x-3}{2x-2} $$

    Получим систему уравнений:

    $$ \left \{ {{v’+\frac{1}{x-1}v=0} \atop {u’v=\frac{x-3}{2x-2}}} \right. $$

    Решаем первое: 

    $$ \frac{dv}{dx}=\frac{v}{1-x} \\ \int{\frac{dv}{v}}\,=\int{\frac{dx}{1-x}}\, \\ ln\ |v| = -ln|x-1| \\ v=\frac{1}{x-1} $$

    Решаем второе:

    $$ u’v=\frac{x-3}{2x-2} \\ \frac{u’}{x-1}=\frac{x-3}{2(x-1)} \\ u’=\frac{x-3}{2} \\ \frac{du}{dx}=\frac{x-3}{2} \\ du=\frac{x-3}{2}dx \\ \int{du}\,=\int{\frac{x-3}{2}}\, dx \\ u=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+C $$

    Общее решение имеет вид:

    $$ y=(\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+C)*\frac{1}{x-1} $$

  • Найти общее решение или общий интеграл данных дифференциальных уравнений первого порядка
    1) y’+xy=xy^2
    2) y^2-4xy+4x^2’=0
    3)x (x-1)y’+2xy=1


    Решение: $$ 1) y’+xy=xy^2 \\ y’=xy^2-xy \\ y’=x(y-1)*y \\ \frac{y’}{(y-1)*y}=x \\ \int{\frac{y’}{(y-1)*y}}\,dx=\int{x}\,dx \\ ln|-y+1|-ln|y|=\frac{x^2}{2}+C_1 \\ y=\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}+C_1}+1} \\ y=\frac{1}{C_1e^{\frac{x^2}{2}}+1} \\ 2)y^2-4xy+4x^2y’=0 \\ 4x^2y’-4xy=-y^2 \\ -\frac{y’}{y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{4x^2} \\ v=\frac{1}{y},\;\;togda *{10}v’=-\frac{y’}{y^2} \\ v’+\frac{v}{x}=\frac{1}{4x^2} \\ \mu=e^{\int{\frac{1}{x}}\,dx}=x \\ xv’+v=\frac{1}{4x} \\ 1=x’: \\ xv’+x’v=\frac{1}{4x} \\ (xv)’=\frac{1}{4x} \\ \int{(xv)’}\,dx=\int{\frac{1}{4x}}\,dx \\ xv=\frac{ln|x|}{4}+C_1 \\ v=\frac{\frac{ln|x|}{4}+C_1}{x} \\ y=\frac{1}{v}=\frac{4x}{ln|x|+4C_1} \\ y=\frac{4x}{ln|x|+C_1} \\ x(x-1)y’+2xy=1 \\ y’+\frac{2y}{x-1}=\frac{1}{x(x-1)} \\ \mu=e^{\int{\frac{2}{x-1}}\,dx}=(x-1)^2 \\ (x-1)^2y’+2(x-1)y=\frac{x-1}{x} \\ 2(x-1)=((x-1)^2)’: \\ (x-1)^2y’+((x-1)^2)y=\frac{x-1}{x} \\ ((x-1)^2y)’=\frac{x-1}{x} \\ \int{((x-1)^2y)’}\,dx=\int{\frac{x-1}{x}}\,dx \\ (x-1)^2y=x-ln|x|+C_1 \\ y=\frac{x-ln|x|+C_1}{(x-1)^2} $$

  • Xy’=y-(x^2+y^2)^1/2 найти общий интеграл дифференциального уравнения.


    Решение: Уравнение по виду - однородное.
    Сделаем замену $$ y = tx $$, где $$ t $$ - неизвестная функция. Отсюда $$ y’ = (tx)’ = t’x + tx’ = t’x + t $$.
    Тогда уравнение примет вид
    $$ x(t’x + t) = tx - x \sqrt{t^2+1} $$, 
    или, после деления на $$ x $$ и уничтожения $$ t $$ в обеих частях,
    $$ t’x = - \sqrt{t^2+1} $$.
    Получено уравнение с разделяющимися переменными. Дальнейшие действия стандартные и не нуждаются в комментариях:
    $$ x \frac{dt}{dx} = - \sqrt{t^2+1}, \\ -\frac{dt}{\sqrt{t^2+1} } = \frac{dx}{x}, \\ -\int {\frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}} \, = \int { \frac{dx}{x} } \, \\ ln|x| = -ln|t+ \sqrt{t^2+1} | + ln|C| \\ ln|x| = ln| \frac{C}{t+ \sqrt{t^2+1} }| \\ x = \frac{C}{t+ \sqrt{t^2+1} } \\ x(t+ \sqrt{t^2+1} ) = C $$
    Делаем обратную подстановку и получаем общий интеграл:
    $$ y + \sqrt{y^2 + x^2} = C $$.
    В процессе решения мы делили на x. Легко убедиться проверкой, что х = 0 является решением.

  • Найти общие интегралы или общие решения дифференциальных уравнений 1. хуу’=1-х^2
    2.y’=(y^2/x^2)-(y/x)


    Решение: $$ 1)\; \; xyy’=1-x^2\\\\xy\frac{dy}{dx}=1-x^2\\\\\int y\, dy=\int \frac{(1-x^2)dx}{x}\\\\\frac{y^2}{2}=\int (\frac{1}{x}-x)dx\\\\\frac{y^2}{2}=ln|x|-\frac{x^2}{2}+C \\ 2)\; \; y’=\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}\\\\t=\frac{y}{x}\;,\; y=tx\;,\; y’=t’x+t\\\\t’x+t=t^2-t\\\\\frac{dt}{dx}x= t^2-2t\\\\\int \frac{dt}{t^2-2t}=\int \frac{dx}{x} \\\\\int \frac{dt}{(t-1)^2-1}=\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{1}{2}ln\left |\frac{t-1-1}{t-1+1}\right |=ln|x|+lnC_1\\\\ln\left |\frac{y-2x}{y}\right |=2ln|C_1x|\\\\\frac{y-2x}{y}=Cx^2\;,\; \; C=C_1^2 $$