интеграл » интеграл дроби
  • Интеграл Sin^3x*sqrt(cosx) dx ? Подробнее


    Решение: $$ \int sin^3 x \sqrt{cos x} dx= $$
    замена
    $$ cos x=t; d(cosx)=-sin x dx=dt; \\ sin^3 x dx=-sin^2 x*(-sin x dx)= \\ -(1-cos^2 x)*(-sin x dx)=\\\\-(1-t^2)*dt=(t^2-1)dt $$
    Получим
    $$ \int (t^2-1) \sqrt{t} dt=\int (t^2-1)*t^{\frac{1}{2}} dt=\int t^{\frac{5}{2}}-t^{\frac{1}{2}}dt $$
    интеграл разности = разности интегралов и формула интеграл от степенной функции $$ \int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \frac{t^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}-\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C= \\ \frac{2}{7} (cos x)^{\frac{7}{2}}-\frac{2}{3}(cos x)^{\frac{3}{2}}+C= \\ \frac{2}{7} cos^3x \sqrt{cos x}-\frac{2}{3}cos x\sqrt{x}+C $$

  • Интеграл (x^2+3x-4)*lnx dx= решите подробно


    Решение: $$ \displaystyle \int u \: \mathrm dv = uv - \int v \: \mathrm du \\ u = \ln x \\ \mathrm dv = x^2 + 3x - 4, \quad v = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - 4x \\ \displaystyle \int (x^2 + 3x - 4)\ln x \: \mathrm dx = \int_{u} \: \mathrm dv = \\ \\ \\ = \ln x \left( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - 4x\right) - \int \left( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - 4x\right) \frac{\mathrm dx}{x} = \\ \\ \\ = \ln x \left( \dfrac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 4x\right) - \int \left( \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - 4\right) \: \mathrm dx = \\ \\ \\ = \ln x \left( \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} - 4x\right) - \left( \dfrac{x^3}{9} + \dfrac{3x^2}{4} - 4x\right) + \mathrm{const} $$

  • необходимо подробненько найти интеграл (7x+8)/((x-7)(x-8))dx

    и еще int dx/sin8x )


    Решение: $$ \int{\frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}}\, dx $$

     Методом неопределенных коэффициентов разложим дробь:

     $$ \frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{x-8}=\frac{A(x-8)+B(x-7)}{(x-7)(x-8)} $$

     $$ \left \{ {{A+B=7} \atop {-8A-7B=8}} \right. $$ $$ \left \{ {{A=-57} \atop {B=64}} \right. $$

     Получаем

    $$ \int{\frac{7x+8}{(x-7)(x-8)}}\, dx=\int{\frac{-57}{x-7}}\, dx+\int{\frac{64}{x-8}}\, dx=-57ln(x-7)+64ln(x-8) $$

  • Решите интеграл подробно \(\int\limits_3^4 2xdx =7 \)


    Решение: $$ \int\limits^3_4 {2x} \, dx = \frac{2x^{2}}{2} /_{4}^{3}= x^{2} /_{4}^{3}= 4^{2}-3^{2} =\\ 16 - 9 =7 $$

    наша функция

    $$ f(x)=2x $$

    вычислим ее первообразную

    $$ \int{2x}\, dx=x^2 $$

    по теореме Ньютона-Лейбница представим определенный интегралk в следующем виде

    $$ \int\limits^a_b {x} \, dx=F(x)I^b_a=F(b)-F(a) $$

    подставим найденную нами первообразную и пределы интегрирования

    $$ \int\limits^4_3 {2x} \, dx=x^2I^4_3=4^2-3^2=16-9=7 $$