интеграл »

интеграл двойной - страница 2

  • Найти площадь фигуры ограниченной линиями с помощью двойного интеграла y=5/x, y=10*e^x, у=5, у=10


    Решение: $$ y=\frac{5}{x}\; \; \to \; \; x=\frac{5}{y}\\\\y=10e^{x}\; \; \to \; \; e^{x}=\frac{y}{10}\;,\; x=ln\frac{y}{10}\\\\S=\iint _{D}dx\, dy=\int _5^{10}dy\int _{ln\frac{y}{10}}^{\frac{5}{y}}\, dx=\int_5^{10}(x|_{ln\frac{y}{10}}^{\frac{5}{y}})dy=\int_5^{10}(\frac{5}{y}-ln\frac{y}{10})dy;\\\\\int _5^{10}\, ln\frac{y}{10}dy=[\, u=ln\frac{y}{10}\;,du=\frac{dy}{y}\;,dv=dy,\; v=y\, ]=\\\\=y\cdot ln\frac{y}{10}|_5^{10}-\int _5^{10}dy=10\cdot ln1-5\cdot ln\frac{1}{2}-y|_5^{10}=\\\\=0+5\cdot ln2-(10-5)=5ln2-5 \\ S=\int_5^{10}\frac{5}{y}dy-(5\ln2-5)=5\cdot ln|y||_5^{10}-5ln2+5=\\\\=5(ln10-ln5)-5ln2+5=5ln\frac{10}{5}-5ln2+5=5 $$

  • Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле \(\int\limits_0^1 dy\int\limits_{\frac{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}f(x, y)dx \)


    Решение: Область интегрирования ограничена параболой х=(y^2)/2 (она симметрична оси ОХ) и верхней полуокружностью x=√(3-y^2). Сама окр-ть имеет ур-ие x^2+y^2=3? радиус=√3, центр в т. О. Точка пересечения этих кривых находится из уравнения y^2/2=√(3-y^2). Получаем биквадратное уравнение y^4+4*y^2-12=0, корни которого (-6) и 2. Тогда у^2=2, у=√2. Сама же область проектируется в отрезок (0,1), судя по пределам интегрирования внешнего интеграла.√2>1⇒√2 лежит выше 1. Значит область ограничена ещё линией у=1. При изменении порядка интегрирования получим три интеграла, так как наша область будет разбита на три прямыми х=1/2, х=√2 (надо подставить х=1 в уравнения полуокружности и параболы). Первый повторный интеграл такой: внешний от0 до 1/2 по dх; внутренний от0 до √(2х) по dу. Второй инт-л: внешний от1/2 до √2 по dx, внутренний от0 до 1 по dy. Третий инт-л: внешний от√2 до √3 поdx, внутренний от 0 до √(3-x^2) по dy.

  • Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле \(\int\limits_{-3}^{0} dy\int\limits_{(x+1)^2}^{1-x}f(x, y)dy\)


    Решение: Область ограничена параболой у=(х+1)^2 и прямой у=1-х. Вершина параболы в точке (-1,0). Пересекает ось ОУ в точке (0,1). Точкb пересечения линий находится из уравнения (х+1)^2=x, x^2+3x=0, x1=0, x2=-3.

     При изменении порядка интегрирования надо будет выражать переменные х через у для внутреннего интеграла. Из y=(x+1)^2 найдем х+1=√у или х+1=-√у. Для левой половины параболы ( при х<-1) х=-1-√у. Для правой части параболы х=-1+√у. Тогда получим сумму двух повторных интегралов Первый такой : внешний от0 до 1 по dy, внутренний от -1-√y по  dx. Второй интеграл: внешний от1 до 4 (подставили в ур-ие параболы х=-3, получили у=4)  по dy, внутренний от -1-√у до 1-у ( из уравнения прямой выразили х).

  • Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла и изменить порядок интегрирования \( \int\int_D f(x, y)dxdy; D : y^2=x; x=(y-2)^2; x=0 \)


    Решение: $$ x=y^2 \ \ \ => \ \ \ y=\pm\sqrt{x} \\ x=(y-2)^2 \ \ \ => \ \ \ y=\pm\sqrt{x}+2 \\ Intersection \ point: \\ y^2=(y-2)^2 \ \ \ => \ \ \ 4y=4 \ \ \ => \ \ \ y=1 \\ 1=\pm\sqrt{x} \ \ \ <=> \ \ \ 1=\sqrt{x} \ \ \ => \ \ \ (x=1 \ <=> \ y=\sqrt{x})\\ 1=\pm\sqrt{x}+2 \ \ \ => \ -1=\pm\sqrt{x} \ \ => \ \ (x=1 \ <=> \ y=-\sqrt{x}+2) $$
    Получили $$ D $$ ограниченную кривыми
    $$ y=\sqrt{x} \\ y=-\sqrt{x}+2\\ x=0 $$
    Переопределяем множество:
    $$ D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \ 0Интеграл на множество:
    $$ \iint\limits_D f= \int\limits^1_0 ({ \int\limits^{2-\sqrt{x}}_{\sqrt{x}} {f(x,y)} \, dy}) \, dx $$

<< < 12