НОД и НОК »

общее кратное двух чисел

  • Сумма двух чисел равна 221 а их наименьшее общее кратное 612. Найдите эти числа


    Решение: Пусть одно число НОД*а
    Другое НОД*в
    НОД*(а+в)=221=13*17
    НОК=НОД*ав=612=17*36
    НОД=17
    а+в=13
    ав=36
    а*а+2ав+в*в=169
    а*а-2ав+в*в=169-144=25
    а-в=5
    2а=18
    а=9
    в=4
    17*9=153
    17*4=68
    Ответ:  153 и 68
    Примечание :
    Конечно, после того как мы обнаружили а+в=13
    ав=36, зная, что а и в целые, их легко найти рассмотрев разбиение 36 на 2 сомножителя : 36=1*36  36=2*18,  36=4*9, 36=6*6. нас интересуют только неравные сомножители сумма которых равна 13.  Ясно, это 9 и 4.

  • Произведение двух взаимно простых чисел равно 6464. Чему равно наименьшее общее кратное этих чисел?


    Решение: Натуральные числа a и b являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель НОД равен 1. Математическая запись: НОД(a; b)=1. Отсюда следует, что если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты. Одним из свойств взаимно простых чисел является то, что наименьшее общее кратное НОК пары взаимно простых чисел равно их произведению, а отсюда, исходя из условий задания, следует, что НОК(a; b)=6464.

  • Укажите произведение двух натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 360, а разность равна 66.


    Решение: Числа: х, х+66
    НОК=360=х(х+66)/НОД(х, х+66)=х(х+66)/НОД(х,66)
    НОД (х,66) может равняться 1,2,3,6,11,22,33,66, но 360 не делится на 11, то НОД может равняться только 1,2,3,6
    проверяем 
    х(х+66)/1=360 - осутсв. целые корни
    х(х+66)/2=360 - осутсв. целые корни
    х(х+66)/3=360 - осутсв. целые корни
    х(х+66)/6=360 - целые корни -90, 24 
     (24, 90)

  • Сумма двух натуральных чисел равна 45, а их наименьшее общее кратное - 54. Что это за числа?


    Решение: первое число х, второе у.

    х+у=45

    отсюда знаем, что х и у меньше 45.

    х и у - делители числа 54. т. е. 54 делится на х и у.

    значения х и у находятся среди делителей 54, меньших 45.

    такими являются 2 3 6 9 18 27.

    среди этих чисел удовлетворяют условиям задачи только 18 и 27.

    18+27=45

    найдем НОК для 18и 27:

    $$ 18= 2\cdot 3^{2} \\ 27= 3^{3} \\ НОК=2\cdot 3^{3} =54$$

    наши числа 18 и 27

  • Какие из следующих утверждений верны А) два чётных числа всегда взаимно просты б) два не черных числа могут быть взаимно просты в) произведение составных чисел всегда является составным веслом г) наименьшее общее кратное двух нечетных чисел всегда является нечетное числом


    Решение: А) не верное утверждение, так как у взаимно простых чисел нет общих
     делителей, кроме 1, а у двух чётных чисел есть общий делитель 2.
    б) верно, два нечётных числа могут быть взаимно простыми, например, 17 и 11
    в) верно, составное число имеет более двух делителей, произведение двух составных будет иметь более двух делителей
    г) Наименьшее общее кратное двух нечётных чисел - наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел, так как нечётные числа не содержат множитель 2, то и их НОК не содержит множитель 2, то есть является нечётным числом