прогрессия » сумма первых n членов прогрессии
  • A3+a7=5, a4=1. Найти сумму первых десяти членов прогрессииНайти сумму целых решений неравенства 0<|2-x|=<2,5:


    Решение: A₃+a₇=5   a₄=1   Σa₁₀ - ?
    a₁+3d=1 I*2   2a₁+6d=2 Вычитаем из второго уравнения первое:
    a₁+2d+a₁+6d=2a₁+8d=5  2d=5   d=2,5  a₁=1-3d=-6,5
    Σa₁₀=(a₁+a₁₀)*n/2=(a₁+a₁+9d)*10/2=(2*(-6,5)+9*2,5)*5=
    =(-13+22,5)*5=47,5.
    0<I2-xI≤2,5
    Раскрываем модульи имеем два неравенства
    0<2-x≤2,5     -2<-x≤0,5 I*(-1) 2>x≥-0,5   ⇒  x∈[-0,5;2)
    0<-2+x≤2,5   2<x≤4,5  ⇒   x∈(2;4,5]   ⇒
    x∈[-0,5;2)U(2;4,5].

  • а1=-100

    d=8

    Какое наименьшее число членов этой прогрессии, начиная с первого нужно взять, чтобы их сумма была положительной?


    Решение: а1=-100

    d=8

    S=(2a1+d(n-1))*n:2

    (2*(-100)+8(n-1))*n:2>0

    (-200+8n-8)*n:2>0

    (8n-208)*n:2>0

    (4n-104)*n>0

    4(n-26)*n>0

    Рисуем числовую прямую, расставляем на ней две точки выколотые 0 и 26.

    Очевидно, что неравенство будет больше нуля, когда n<0 и когда n>26.

    Число n должно быть натуральным, поэтому выбираем n>26.

    Наименьший n>26 это n=27.

    Ответ: 27

  • Сумма первых четырех членов ар. прогрессии равна 124, а сумма ее четрех последних ее членов 156. Сколько членов в этой ар. прогрессии, если извесно, что сумма их равна 350?


    Решение: A1 = a1 
    a2 = a1 + d 
    a3 = a1 + 2d 
    a4 = a1 + 3d 
    Складываем: a1 + a2 + a3 + a4 = 4a1 + 6d = 124 => 2a1 + 3d = 62 
    Аналогично для 4-х крайних членов: 
    a(n-3) = a1 + (n-4)d 
    a(n-2) = a1 + (n-3)d 
    a(n-1) = a1 + (n-2)d 
    an = a1 + (n-1)d 
    складываем: a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) + an = 4a1 + 4dn - 10d = 156 => 2a1 + 2dn - 5d = 78 
    Получаем систему уравнений: 
    2a1 + 3d = 62 
    2a1 + 2dn - 5d = 78 
    вычтем из 2-го 1-ое 
    2dn -8d = 16 dn - 4d = 8 d = 8/(n-4) 
    2a1 + 3d = 62 2a1 + 3d = 62 2a1 + 24(n-4) = 62 
    a1 = 0.5(62 - 24/(n-4)) = 0.5(62n - 272)/(n-4) = (31n - 136)/(n-4) 
    Sn = 0.5(2a1 + (n-1))n = (a1 + 0.5(n-1)d)n = ((31n - 136)/(n-4) + 0.5[8n/(n-4) - 8/(n-4)])n = ((31n - 136)/(n-4) + 4n/(n-4) + 4/(n-4))n = n(35n - 140)/(n-4) = 350 
    n(7n - 28)/(n-4) = 70 
    7n^2 - 28n = 70n - 280 
    7n^2 - 98n + 280 = 0 
    n^2 - 14n + 40 = 0 
    По теореме Виета видим корни: 
    n1 = 4, n2 = 10 
    Ну 1-й корень не подходит так как у нас по условию членов минимум восемь. Поэтому ответ 10. 
    У данной прогрессии 10 членов.

  • какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9


    Решение: По свойству арифметической прогрессии:

    $$ a_n= a_1-(n-1)d $$

    У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем d и a_1:

    $$ \left \{ {{a_1+20d=33} \atop {a_1+26d=9}} \right. $$ 

    Выражаем их из первого \(a_1\) и получаем:

    $$ a_1=33-20d $$

    Подставляем во второе и получаем:

    $$ 33-20d+26d=9 \\ 6d+33=9 \\6d=-24 \\d=-4 $$ 

    Подставляем d в выражение для \(a_1\) и получаем:

     $$ a_1=33-20\cdot(-4)=33+80=113 $$

    Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

    $$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n $$ 

    теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:

    $$ S_n=\frac{226-4(n-1)}{2}\cdot n = \\ =(\frac{226-4n+4}{2})\cdot n= \\ =(\frac{230-4n}{2})\cdot n= \\ =(115-2n)n=-2n^2+115n $$ 

    Получилась функция, которая зависит от n.

    Нужно найти ее максимум:

    Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед \(n^2\) стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.

    Найдем производную по n от этой функции:

    Получим:

    $$ S’(n)=(-2n^2+115n)’_n=-4n+115 $$ 

    Теперь надо найти где она равно 0.

    Решаем уравнение: $$ -4n+115=0 $$ получаем: $$ n=\frac{115}{4}=28,75 $$

    Теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29.

    Для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29 

    $$ S(n)=-2n^2+115n \\ S(28)=-2\cdot 28^2+115\cdot28=-1568+3220=1652 \\ S(29)=-2\cdot 29^2+115\cdot29=-1682+3335=1653 $$ 

    Как мы видим S(29)>S(28),

    значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653

    Ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29

  • A3+a7=5, a4=1. Найти сумму первых десяти членов прогрессии
    Найти сумму целых решений неравенства 0<|2-x|=<2,5:


    Решение: A₃+a₇=5   a₄=1   Σa₁₀ -
    a₁+3d=1 I*2   2a₁+6d=2 Вычитаем из второго уравнения первое:
    a₁+2d+a₁+6d=2a₁+8d=5  2d=5   d=2,5  a₁=1-3d=-6,5
    Σa₁₀=(a₁+a₁₀)*n/2=(a₁+a₁+9d)*10/2=(2*(-6,5)+9*2,5)*5=
    =(-13+22,5)*5=47,5.
    0<I2-xI≤2,5
    Раскрываем модульи имеем два неравенства
    0<2-x≤2,5     -2<-x≤0,5 I*(-1) 2>x≥-0,5   ⇒  x∈[-0,5;2)
    0<-2+x≤2,5   2<x≤4,5  ⇒   x∈(2;4,5]   ⇒
    x∈[-0,5;2)U(2;4,5].

  • Найти сумму с помощь прогресси:

    а) всех натуральных чисел от 45 до 90

    б) всех целых чисел от -100 до -65


    Решение: сумма всех натуральных чисел от 45 до 90 это сумма арифметической прогрессии с первым членом a[1]=45, последним членом a[n]=90 и разницей арифмиттиеческой прогрессии d=1

    по формуле общего члена найдем количевство членов

    a[n]=a[1]+(n-1)*d

    90=45+(n-1)*1

    45=n-1

    n=45+1=46

    по формуле суммы

    S=(a[1]+a[n])/2* n

    S=(45+90)/2 *46=3 105

    б) сумма всех целых чисел от -100 до -65 это сумма арифметической прогрессии с первым членом a[1]=-100, последним членом a[n]=-65, и разницей арифметичесской прогрессии d=1

    по формуле общего члена найдем количевство членов

    a[n]=a[1]+(n-1)*d

    -65=-100+(n-1)*1

    35=n-1

    n=35+1=36

    по формуле суммы

    S=(a[1]+a[n])/2* n

    S=(-100+(-65))/2 *36=-2 970