прогрессия »

сумма убывающей прогрессии

Сумма трех последовательных членов убывающей арифметической прогрессии равна 1, а сумма их трех попарных произведений равна 11/36. Найти эти члены прогрессии. Можно немного поподробней написать решение, а то я мало что понимаю в этой теме.

Решение: Пусть первый член а1, второй а2, а третий а3. выразим их через формулу n-ого члена. a2=a1+d a3=a1+2d
а1+а2+а3=а1+а1+d+a1+2d=3a1+3d=1
3a1+3d=1
a1*a2+a1*a3+a2*a3=a1*(a1+d)+a1*(a1+2d)+(a1+d)(a1+2d)=a1^2+a1d+a1^2+2a1d+a1^2+2a1d+a1d+d^2=3a1^2+6a1d+d^2=11/36
3a1^2+6a1d+2d^2=11/36
a1=1/3-d
3(1/3-d)^2+6(1/3-d)d+d^2=11/36
1/3-2d+3d^2+2d-6d^2+d^2=11/36
-d^2=11/36-1/3
d=-1/6
a1=1/2
a2=1/3
a3=1/6
Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии.

Решение: a1+a2+a3 = 9

a12+a22+a32 = 99

Найти: а5

Решение:

a2 = a1+d, a3 = a1+2d

a1+a1+d+a1+2d = 9 3a1+3d = 9 a1 = 3-d a1 = 3-d

a12+a22+a32 = 99 a12+a22+a32 = 99 a12+a22+a32 = 99 (3-d)2+32+(3+d)2 = 99 (2)

Решим уравнение (2) системы

(3-d)2+9+(3+d)2 = 99

9+d2+9+d2 = 90

18 + 2d2 = 90

2d2 = 72

d2 = 36

d = ± 6

т. к. (an) – убывающая арифметическая прогрессия, то d = - 6

а1 = 3+6 = 9

a5 = a1+4d = 9-24 = -15

Ответ: а5 = -15
Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 6, а произведение первого члена на сумму первых шести членов прогрессии равно 9. Найдите десятый член прогрессии.

Решение:

Пусть убывающая арифм. прогрессия есть $(a_n):\ a_1;\ a_2;\ a_3;.$
$a_1+a_2+a_3=6\ u\ S_6*a_1=9$
$\begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=6 \\ \frac{2a_1+5d}{2}*6*a_1=9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1+a_1+d+a_1+2d=6 \\ \frac{2a_1+5d}{2}*6*a_1=9 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases} a_1+d=2 \\ (2a_1+5d)*a_1=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a_1=2-d \\ (4-2d+5d)*(2-d)=3 \end{cases}$
3d² - 2d - 5 = 0
d = -1 или d = 5/3
Т. к. прогрессия убывающая, то d = -1 ⇒ $a_1=2-(-1)=3$
$a_{10}=a_1+9d=3+9*(-1)=-6$
Ответ: -6.
$Пусть убывающая арифм. прогрессия есть a n a a a . a a a u S a begin cases a a d a d frac a d a end cases Leftrightarrow begin cases a a d a d frac a d a end cases Leftright...$
Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии

Решение: a₁+a₂+a₃=9;

(a₁)²+(a₂)²+(a₃)²=99;

a₁+a₁+d+a₁+2d=9;

(a₁)²+(a₁+d)²+(a₁+2d)²=99;

a₁=3-d;

9-6d+d²+9+9+6d+d²=99;

a₁=3-d;

2d²=72;

a₁=3-d;

d²=36;

a₁=9;

d=-6.

a₅=a₁+4d=9-24=-15.

Ответ: а₅=-15.
Найти отношение третьего члена убывающей геометрической прогрессии к её пятнадцатому члену, если сумма двенадцати членов прогрессии, начиная с тринадцатого, составляет 2/5 суммы её первых двенадцати членов.

Решение: Сумма 12-ти членов прогрессии, начиная с 13-ого - это сумма с 13-го по 24-ой член прогрессии: $S= \frac{b_{13}}{1-q}=\frac{2}{5}*S_{12}$
Сумма первых 12-ти членов: $S_{12}= \frac{b_{1}}{1-q}$
$\frac{b_{13}}{1-q}=\frac{2}{5}* \frac{b_{1}}{1-q}$
$b_{15}=b_{1}*q^{14}$
$b_{13}=b_{1}*q^{12}$
$b_{3}=b_{1}*q^{2}$
$\frac{b_{1}*q^{12}}{1-q}=\frac{2b_{1}}{5(1-q)}$
$q^{12}=\frac{2}{5}$
$\frac{b_{3}}{b_{15}}= \frac{b_{1}*q^{2}}{b_{1}*q^{14}}=\frac{1}{q^{12}}=\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{2}$

Пусть bn- n-ый член прогрессии
Sn -сумма первых n членов, тогда
b3=b* q^2
b15=b*q^14
b3/b15=(b*q^2)/(b*q^14)=1/q^12
S12=(b*(1-q^12))/(1-q)
S24=(b*q^n*(1-q^12))/(1-q)
S24/Sn=q^12
b3/b15=Sn/S4=5/2
ответ 5/2

сумма убывающей прогрессии

Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии.

Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии