прогрессия » арифметическая прогрессия задана
  • Арифметическая прогрессия задана уравнением an=2n-4. Найдите сумму ее членов с 10 по 15.


    Решение: $$ a_n=2n-4\\a_1=2*1-4=2-4=-2\\a_2=2*2-4=4-4=0\\d=a_2-a_1=0-(-2)=2\\\\a_9=a_1+8d\\a_9=-2+8*2=-2+16=14\\S_9=(a_1+a_9):2*9\\S_9=(-2+14):2*9=12:2*9=6*9=54\\\\a_{15}=a_1+14d\\a_{15}=-2+14*2=-2+28=26\\S_{15}=(a_1+a_{15}):2*15\\S_{15}=(-2+26):2*15=24:2*15=12*15=180\\\\S_{10-15}=S_{15}-S_9=180-54=26 $$

    А1=2*1-4=-2
    а2=2*2-4=0
    S=2a1+d(n-1)/2*n
    S10=2*(-2)+2*(10-1)/2*10=70
    S11=2*(-2)+2*(11-1)/2*11=88
    S12=2*(-2)+2*(12-1)/2*12=108
    S13=2*(-2)+2*(13-1)/2*13=130
    S14=2*(-2)+2*(14-1)/2*14=154
    S15=2*(-2)+2*(15-1)/2*15=180

  • Арифметическая прогрессия задана первыми двумя членами: a1=100, a2=97. Укажите наименьшее значение n, при котором an<0.


    Решение: здесь разность прогрессии равна -3,

    $$ a_{1}+(n-1)d =0 $$

     $$ a_{n} $$ меньше 0,

    найдём $$ a_{1}+(n-1)d = 0 $$

    100 +(n-1)(-3) =0

    n-1=-100/-3

    n=1+ 33 +1/3

    n= 34  1/3

    пр n= 34 а=100+(34-1)*(-3)=1

    при n= 35  а=1-3=-2

    Ответ: наименьшее значение n, при котором an<0 n=35.

    $$ a_1=100;a_2=97;\\\\d=a_2-a_1=97-100=-3;\\\\a_n=a_1+(n-1)*d;\\\\a_n=100+(n-1)*(-3)=100-3n+3=103-3n;\\\\a_n<0;\\\\103-3n<0;\\\\103<3n;\\\\3n>103;\\\>\frac{103}{3}=34\frac{1}{3};\\\=35; $$

    ответ: 35

    проверка

    $$ a_{34}=103-3*34=103-102=1>0;\\\\a_{35}=103-3*35=103-105=-2<0 $$

  • Задание 7 (137305)
    Арифметическая прогрессия задана условиями а1=6, аn+1=an+6 Какое из данных чисел является членом этой прогрессии
    1.80
    2. 56
    3.48
    4.32


    Решение: $$ a_1=6;a_{n+1}=a_n+6 $$
    разность арифметичесской прогрессии равна
    $$ d=a_{n+1}-a_n=(a_n+6)-a_n=a_n+6-a_n=6 $$
    $$ d=6 $$
    формула общего члена арифметической прогрессии
    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
    номер n-го члена прогрессии $$ n=\frac{a_n-a_1}{d}+1 $$
    проверяем 1.
    $$ a_n=80; $$
    $$ n=\frac{80-6}{6}+1 $$ - не натуральное число -не подходит
    проверяем 2.
    $$ a_n=56 $$
    $$ n=\frac{56-6}{6}+1 $$ - не натуральное число - не подходит
    проверяем 3.
    $$ a_n=48 $$
    $$ n=\frac{48-6}{6}+1=8 $$ - натуральное число - подходит
    48 - является 8-м членом данной прогресси
    проверям 4.
    $$ a_n=32 $$
    $$ n=\frac{32-6}{6}+1 $$ - не натуральное число - не подходит
    ответ: 3. (48  - 8-й член прогрессии)

  • 2. В арифметической прогрессии (an) a10=30; a30=90. Найти d
    3. Арифметическая прогрессия задана условием: a1 =-5,5; an+1= an+0,5. Найдите двадцать четвёртый член этой прогрессии.


    Решение: Используем свойство арифметической прогрессии  an=ak+(n-k)*d  (1)
    2) отсюда d=(an-ak)/(n-k)=(90-30)/(30-10)=60/20=3
    ответ: d=3
    3) Из выражения an+1=an+0.5  следует  по определению прогрессии  d=0.5
    тогда подставим в (1): a24=a1+(24-1)*d=-5.5+23*0.5=6
    Ответ: a24=6

    2) a10=30 a10 = a1 + 9d a1 + 9d = 30
      a30 = 90 a30 = a1 + 29d a1 +29d=90 вычтем из 2 уравнения 1-е. получим 20d = 60⇒d = 3
    3) an+1 = an + 0,5 эту запись надо понять так: чтобы найти последующий член, надо к предыдущему прибавить 0,5.
    То есть 0,5 - это разность прогрессии. (d = 0,5)
    a24 = a1 + 23d = -5,5 + 23·0,5 =  - 5,5 + 11,5 = 6

  • 1. в арифм. прогрессии найдите а1, если d=3 а6=17
    2. Найдите сумму последовательности нечётных натуральных числ с 35 по 70 включительно.
    3. Найдите сумму последовательных чётных натуральных чисел не превосходящих 155.


    Решение: 1.
    a6=a1+d*(6-1)
    a1+3*5=17
    a1+15=17
    a1=2
    2.
    a1=35
    d=2
    последнее нечетное число будет 69, найдем его номер:
    69=a1+d(n-1)
    69=35+2n-2
    2n=36
    n=18
    Сумма: (35+69)/2 * 18=104/2 * 18=52*18=936
    3.
    a1=2
    d=2
    последнее четное число будет 154, найдем его номер:
    154=a1+d*(n-1)
    154=2+2*(n-1)
    154=2+2*n-2
    154=2*n
    n=77
    Сумма: (2+154)/2 * 77=78*77=6006